1.7概率与频率31·设A是试验S的事件在相同的条件下将试验S独立地重复N次，我们称N次试验中A发生的次数fN=N是N次独立重复试验中，事件A发生的频率（frequency)·理论和试验都证明，当N→o0，fN会收敛到一个数P(A).我们称P(A)为事件A在试验S下发生的概率，简称为A的概率·(Flash演示）
1.7 概率与频率 31 • 设 A 是试验 S 的事件. 在相同的条件下将试验 S 独立地重复 N 次, 我们称 fN = N次试验中 A 发生的次数 N 是 N 次独立重复试验中, 事件 A 发生的频率 (frequency). • 理论和试验都证明, 当 N → ∞, fN 会收敛到一个数 P(A). 我们称 P(A) 为事件 A 在试验 S 下发生的概率, 简称为 A 的概率. • (Flash 演示)
32第一章古典概型和概率空间
32 第一章 古典概型和概率空间
第二章随机变量和概率分布随机变量2.1随机变量一—引入·事件是用来描述随机试验的某些现象是否出现的，要说明比较复杂的试验结果，就需要定义许多事件.·为了更深入地研究随机现象，就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型，我们用随机变量的值表示随机试验的结果。·如果用X表示明天的最高气温，【X<30就表示明天的最高气温不超过30°C，由于X的取值在今天无法确定，所以称X是随机变量(random variable)例1.1：般子点数·例1.1掷一个般子，样本空间是Q=-[w[w=1,2,---,6]·用X表示掷出的点数，称X是随机变量·（X≤3)表示出的点数不超过3.并且[X ≤3] =w [w =1,2,3]是事件。。将X视为2上的函数X(w)=w, wE2则[X ≤j] = [w| w=1,2, ,j]是事件。33
第二章 随机变量和概率分布 2.1 随机变量 随机变量——引入 • 事件是用来描述随机试验的某些现象是否出现的, 要说明比较复杂的 试验结果, 就需要定义许多事件. • 为了更深入地研究随机现象, 就要建立数学模型，随机变量是随机现 象的最基本的数学模型，我们用随机变量的值表示随机试验的结果。 • 如果用 X 表示明天的最高气温, {X ≤ 30} 就表示明天的最高气温不 超过 30oC, 由于 X 的取值在今天无法确定, 所以称 X 是随机变量 (random variable). 例 1.1: 骰子点数 • 例 1.1 掷一个骰子, 样本空间是 Ω = { ω | ω = 1, 2, · · · , 6 }. • 用 X 表示掷出的点数, 称 X 是随机变量. • {X ≤ 3} 表示掷出的点数不超过 3, 并且 {X ≤ 3} = { ω | ω = 1, 2, 3} 是事件。 • 将 X 视为 Ω 上的函数, X(ω) = ω, ω ∈ Ω, 则 {X ≤ j} = {ω | ω = 1, 2, · · · , j}. 是事件。 33
34第二章随机变量和概率分布例1.2：扑克牌点数·例1.2在一副扑克的52张中任取一张，样本空间的每个点表示一张扑克·用X表示所取扑克的大小，则X=3表示所取到的扑克是3·将X视为样本空间上的函数，则[X=3)=（w[Xw)=3)=草花3,黑桃3,红桃3,方块3}是事件。·我们称X是随机变量随机变量定义：定义（随机变量）X是定义在样本空间上的实值函数：对每一个样本点w，X(w）是一个实数（更严格的数学定义还要求关于X落入区间是事件)。·通常将随机变量X（W）简记为X·在概率论和数理统计学中，人们习惯用大写的X，Y，Z，S，n等表示随机变量.不够时还可以用X1，X2，，等表示.随机变量的事件.我们用X≤)，或更简单地用X<表示事件[w | X(w) ≤r)·对于实数的集合A，我们用{XEA),或更简单地用XEA表示事件[w|X(w) E A].·于是[X E A) =(w I X(w) E A)(a<X<b) =(w / a<X(w)<b)：注：这里和以后所述的数集都是高等数学中的实数的（可测）集合，并且对数集A,承认(XEA)是事件
34 第二章 随机变量和概率分布 例 1.2: 扑克牌点数 • 例 1.2 在一副扑克的 52 张中任取一张, 样本空间的每个点表示一 张扑克. • 用 X 表示所取扑克的大小, 则 X = 3 表示所取到的扑克是 3. • 将 X 视为样本空间上的函数, 则 {X = 3} ≡ { ω | X(ω) = 3 } = { 草花 3, 黑桃 3, 红桃 3, 方块 3 }. 是事件。 • 我们称 X 是随机变量. 随机变量定义 • 定义 (随机变量) X 是定义在样本空间 Ω 上的实值函数: 对每一个 样本点 ω, X(ω) 是一个实数. • (更严格的数学定义还要求关于 X 落入区间是事件)。 • 通常将随机变量 X(ω) 简记为 X. • 在概率论和数理统计学中, 人们习惯用大写的 X, Y , Z, ξ, η 等表示随 机变量. 不够时还可以用 X1, X2, · · · 等表示. 随机变量的事件 • 我们用 {X ≤ x}, 或更简单地用 X ≤ x 表示事件 { ω | X(ω) ≤ x} . • 对于实数的集合 A, 我们用 {X ∈ A}, 或更简单地用 X ∈ A 表示事件 {ω | X(ω) ∈ A}. • 于是 {X ∈ A} ={ω | X(ω) ∈ A}, {a < X ≤ b} ={ω | a < X(ω) ≤ b}. • 注: 这里和以后所述的数集都是高等数学中的实数的 (可测) 集合, 并 且对数集 A, 承认 {X ∈ A} 是事件
2.2离散型随机变量35例1.3,1.4：随机变量的函数·例1.3掷一个般子，用X表示掷出的点数，则X，X2，X+VX都是样本空间上的函数，因而都是随机变量·例1.4掷n个般子，用Y表示掷出的点数之和，则Y是随机变量对函数g(ar),X=g(Y)也是随机变量,因为X(w)=g(Y(w))也是样本空间2上的函数例1.5：随机变量与概率·例1.5在52张扑克中任取13张，求这13张牌中恰有5张草花的概率·解用X表示这13张牌中草花的张数，则X=5是关心的事件，容易得到Cis Cao9=0.1247.P(X = 5) =Ch2·注：在许多实际问题中，一个随机变量X的含义是十分清楚的，所以一般不再关心随机变量X在样本空间上是如何定义的.可以认为X的所有取值就是我们的样本空间。只是在必要的时候才将自变元w写出来2.2离散型随机变量离散型随机变量·有些变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职业，一批产品中次品个数，一个医学试样中白细胞个数，掷两个般子第一次得到12点的时间，等等。·另外的变量可以取到区间内任何值，比如温度、气压、长度、时间等测量值。·定义2.1如果随机变量X只取有限个值a1,2，，n，或可列个值1，2，，就称X是离散型随机变量，简称为离散随机变量（discreterandom variable)·以下就X取可列个值的情况加以表述，对于X取有限个值的情况可类似的表述
2.2 离散型随机变量 35 例 1.3,1.4: 随机变量的函数 • 例 1.3 掷一个骰子, 用 X 表示掷出的点数, 则 X, X2 , X + √ X 都 是样本空间上的函数, 因而都是随机变量. • 例 1.4 掷 n 个骰子, 用 Y 表示掷出的点数之和, 则 Y 是随机变量. 对函数 g(x), X = g(Y ) 也是随机变量, 因为 X(ω) = g(Y (ω)) 也是样 本空间 Ω 上的函数. 例 1.5: 随机变量与概率 • 例 1.5 在 52 张扑克中任取 13 张, 求这 13 张牌中恰有 5 张草花的概 率. • 解 用 X 表示这 13 张牌中草花的张数, 则 X = 5 是关心的事件, 容 易得到 P(X = 5) = C 5 13 C 8 39 C13 52 = 0.1247. • 注: 在许多实际问题中, 一个随机变量 X 的含义是十分清楚的, 所 以一般不再关心随机变量 X 在样本空间 Ω 上是如何定义的. 可以认 为 X 的所有取值就是我们的样本空间。只是在必要的时候才将自变 元 ω 写出来. 2.2 离散型随机变量 离散型随机变量 • 有些变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职 业，一批产品中次品个数，一个医学试样中白细胞个数，掷两个骰子 第一次得到 12 点的时间，等等。 • 另外的变量可以取到区间内任何值，比如温度、气压、长度、时间等 测量值。 • 定义 2.1 如果随机变量 X 只取有限个值 x1, x2, · · · , xn, 或可列个值 x1, x2, · · · , 就称 X 是离散型随机变量, 简称为离散随机变量 (discrete random variable). • 以下就 X 取可列个值的情况加以表述, 对于 X 取有限个值的情况可 类似的表述