x#0 WRdM表otot:例如 f(x)=(S子00,x=0在x=0点任意可导,且 f(n)(0)=0(n=0,1,2,)8. f(x)的麦氏级数为Z0.x"n=0该级数在(-o0,+o0)内和函数s(x)= 0. 可见除=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)6
6 = = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
定理22f(x)在点x的泰勒级数，在U。(x)内收敛于f(x)台在U。(x)内lim R,(x)=0.n-→8Rr(x)热中 R,1X)=fx(-(ht)f(g)htlXX(ht) /7
7 定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n
定理 3设f(x)在U(x)上有定义,M>0,对VxE(x-R, x+R), 恒有 (n)(x)≤M(n =0,1,2,.),则f(x)在(x-R,x.+R)内可展开成点x.的泰勒级数.8
8 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
exSivx Csx内、函数展开成幂级数(n)C(x)1.直接法（泰勒级数法)(T(1)求a,=步骤：Xn1=0n!(2)讨论 lim R, = 0 或(n)(x)≤ M,n>00则级数在收敛间内收敛于f(x).a
9 二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)
戎二0处开以似例1 将f(x)=e*展开成幂级数数fx-e，ke件：n(K)fkt0)=e°- /：x级数为，+*+ +Hx+-.I+×+n(例于0 Rr)= (nt)iXwhtlm= Rr1x)=lnX川0(htl))h>00h>o0nx2x(18 8)ren!h=010
10 例1 将 ( ) 展开成幂级数. x f x = e