二、题型与方法 1.求特征值特征向量 2.判别矩阵是否可对角化, 找可逆矩阵使其与对角阵相似 3实对称矩阵的对角化(可逆变换与正交变换) K心
二、题型与方法 2. 判别矩阵是否可对角化， 找可逆矩阵使其与对角阵相似 1. 求特征值特征向量 3. 实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）
利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为: (1)求4的特征值; (2)由(E-A)x=0求出4的特征向量51,…,5n (3)令P=(51,…,En则PAP=dig(A1,…,n) 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为: (1)求4的特征值; (2)由(4E-A)x=0,求出A的特征向量,…,5n; (3)将51,…n正交化单位化得p1,…,pn (4)令P=(n1,…,B)PAP=ding(4,…,n) K心
利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为： (2) ( ) 0, , , ; 由 iE − A x = 求出A的特征向量1 n (1) ; 求A的特征值i (3) ( , , ) ( , , ). 1 1 P = 1 n P AP = diag n 令 则 − 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为： (2) ( ) 0, , , ; 由 iE − A x = 求出A的特征向量1 n (1) ; 求A的特征值i (3) , , , , , ; 将 1 n正交化 单位化得p1 pn (4) ( , , ) ( , , ). 1 1 P = p1 pn P AP = diag n 令 则 −
1.求特征值特征向量 ex.求矩阵A=-430的特征值和特征向量 102 Solution.A的特征多项式为 λ+1 0 2 AE-A=44-30=(x-2)(x-1), 10元-2 所以A的特征值为礼1=2,2=A3=1 当礼1=2时,解方程组(2E-A)x=0 K心
1. 求特征值特征向量 . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 1. 求矩阵 的特征值和特征向量 − − ex A = Solution. A的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 2 , (2 ) 0. 1 当 = 时 解方程组 E − A x = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 − − − + − − = E A ( 2)( 1) , 2 = − −
3-10 (2E-4)=4-10→010 000 0 从而{x2=0→x2|=x50基础解系为n1=|0 3 3 所以研1(≠0是对应于a1=2的全部特征向量 当礼2=3=时,解方程组E-A)x=0. K心
− − − − = 1 0 0 4 1 0 3 1 0 (2E A) = = = 3 3 2 1 0 0 x x x x 从而 ( 0) 2 . 所以kp1 k 是对应于1 = 的全部特征向量 1 , ( ) 0. 2 3 当 = = 时 解方程组 E − A x = , 0 0 0 0 1 0 1 0 0 → , 1 0 0 3 3 2 1 = x x x x , 1 0 0 1 基础解系为 p =
2-10 101 E-A)=4-20→012 10-1 从而 2 2x3→x2 2 3 3 3 基础解系为p 所以kp2(≠0是对应于2=a3=1的全部特征值 K心
− − − − − = 1 0 1 4 2 0 2 1 0 (E A) = = − = − 3 3 2 3 1 3 2 x x x x x x 从而 ( 0) 1 . 所以k p2 k 是对应于 2 = 3 = 的全部特征值 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 → , 1 2 1 2 − − 基础解系为 p = , 1 2 1 3 3 2 1 − − = x x x x