定理指出：在一致收做的条件下，{f,(x)}中关于独 立变量x与的极限可以交换次序，即()式成立 类似地，若f(x)在(a,b)业一致收敛，且lim f(x) 存在，侧有lim limf(x)=lim limf(x)； x®ahR￥ n®￥x®a 若fn(x)在(a,b)上一致收敛，且imf,(x)存在，则有 lim limf (x)=limlim f (x). r®bn®￥ n®￥x®b
前页 后页 返回 定理指出: 在一致收敛的条件下, 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. 上一致收敛, 且 存在, 则有
定理13.9（连续性）若函数列{f}存区向I业一致收 做，且年一项都连续，则其极限函散f在I上也连续 证设x,为I上任一点由于lim f(x)=fn(xo),子 x®x 是由定程13.8知imf(x)也存在，且 lim f(x)=lim f,(xo)=f(xo), x®X 因此f(x)在x,上连续. 定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数 列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区 间I上一定不一致收敛
前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 在 I 上也连续. 证 于 是由定理 13.8 知 也存在, 且 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛
例如：函散列{x”}的各项在(-1,1上都是连续的，但 0,-1<x<1, 典极限函数f(X)= 在x=1时不连 1,x=1 续，所以{x"}在(-1,1)上不一致收敛 前过
前页 后页 返回 例如: 函数列 的各项在 上都是连续的, 但 其极限函数 续, 所以 在 上不一致收敛
定理13.10（可织性）若函款列{fn}在[4，b]上一致收 敛，且每一项都连续，则 ()ds)ds. (3) 证设f为函散列{fn}在[，b]上的极限函散.由定理 13.9知f在[a,b]业连续，从不fn(n=1,2,L)与f在 [a,b1上都可积.于是3)变为 ()dx-f()dx. (39
前页 后页 返回 证 设 为函数列 在 上的极限函数. 由定理 13.9知 在 上连续, 从而 与 在 上都可积. 于是(3)变为 定理13.10 (可积性) 若函数列 在 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则