第三节向量组的秩 >向量组的等价 >向量组的秩 >小结
第三节 向 量 组 的 秩 ➢ 向量组的等价 ➢ 向量组的秩 ➢ 小结
向量组的等价 定义1(（I)a,,&,()B,…,B 如果向量组(I)中的每个向量都可以 由()中的向量线性表示，则称(T) 可由（Ⅲ）线性表示 如果向量组(I)与)可以互相线性 表示，则称(I)与（等价
一、向量组的等价 , , (II) , , (II) (II) (II) (II) 定义 1： (I) 1 1 r s 如果向量组(I) 中的每个向量都可以 由 中的向量线性表示，则称(I) 可由 线性表示； 如果向量组(I) 与 可以互相线性 表示，则称(I) 与 等价
例子 ①41=(1,2,3)7，a2=(1,0,2)7 DB=(3,4,8),B2=(2,2,5),B=(0,2,1) 由于%=阝一B,2=2B,一B,故D可以由四线性 表示： 由B=21+02,B2=041+02,B3=C1-C2 故)可以由线性表示； 所以①⑩与等价
例子 1 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 (I) (1, 2,3) , (1,0, 2) (II) (3, 4,8) (2, 2,5) , (0, 2,1) , 2 , (I) (II) 2 , , (II) (I) (I) (II) T T T T T = = = = = = = = + = + = − ， 由于 － － 故 可以由 线性 表示； 由 故 可以由 线性表示； 所以 与 等价
注意1： 由定义1可知，如果()可以由()线性表示，则 a1=a1f+…+af 02=a12B+…+a2月 a,=a月++an月
注意1： 1 11 1 1 2 12 1 2 1 1 1 ( ) ( ) s s s s r r sr s I II a a a a a a = + + = + + = + + 由定义 可知，如果 可以由 线性表示，则
将上式用矩阵乘积表示如下 (C%,C2,…C,)=(B,阝2，…f)4 其中 a1141 …1 d21 a22 …02 A= 。 as2
将上式用矩阵乘积表示如下: 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) r s = A 其中 11 11 1 21 22 2 1 2 r r s s sr a a a a a a A a a a =