第四章 矩阵的对角化 本章安排 一，矩阵的特征值和特征向量 二。相似矩阵和矩阵对角化 三，向量的内积和施密特正交化 四.实对称矩阵的对角化
1 一. 矩阵的特征值和特征向量 二. 相似矩阵和矩阵对角化 三. 向量的内积和施密特正交化 四. 实对称矩阵的对角化 第四章 矩阵的对角化 本章安排
第一节矩阵的特征值和特征向量 一.特征值与特征向量的概念 二.特征值与特征向量的性质 三.特征值与特征向量的求法 四.小结思考题 2
2 第一节 矩阵的特征值和特征向量 一. 特征值与特征向量的概念 二. 特征值与特征向量的性质 三. 特征值与特征向量的求法 四. 小结 思考题
~,特征值与特征向量的概念 定义1 设A是n阶方阵，若数入和n维非零列向量 X使得 Ax=入x (1) 成立，则称入是方阵A的一个特征值.X为方阵A的 对应于特征值入的一个特征向量。 注 (①)A是方阵。 (2)特征向量x是非零列向量。 3
3 一. 特征值与特征向量的概念 定义1 设 A 是 n 阶方阵，若数 和 n 维非零列向量 x 使得 Ax x = (1) 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值. x 为方阵 A 的 对应于特征值 的一个特征向量。 注： (1) A 是方阵。 （2）特征向量 x 是非零列向量
(3)方阵A的与特征值入对应的特征向量不唯一。 A比=λx→A(x)=2(x) 4 一个特征向量只能属于一个特征值。 如果设x同时是A的属于特征值人，2(21≠入) 的特征向量，即有 AK=入x,Ax=九2N →入x=22N →(2-元2)x=0 由于入-2≠0，则x=0,与定义矛盾
4 1 2 Ax x Ax x = = , = 1 2 x x − = ( 1 2 ) x 0, 由于 1 2 − 0, 则 x = 0, 与定义矛盾. （3）方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一。 Ax x A kx kx = = ( ) ( ) （4）一个特征向量只能属于一个特征值。 如果设 x 同时是 A 的属于特征值 1 2 1 2 , ( ) 的特征向量，即有
二.特征值与特征向量的求法 Ax=几x →(A-元E)x=0或(2E-A)x=0 (2 已知x≠0，所以齐次线性方程组(2)有非零解 台A-元E=0或2E-A=0 定义2Ann=（4 数入 nxn 一2 2E-A= 21 λ-22 >2n -Qn2 是关于入的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式
5 Ax x = − = ( A E x ) 0 或 (E A x − = ) 0 (2) 已知 x 0, 所以齐次线性方程组( 2 )有非零解 − = A E 0 或 E A − = 0 定义 2 ( ) , n n ij n n A a = 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵A 的特征多项式。 二. 特征值与特征向量的求法 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a E A a a a − − − − − − − = − − −