第二节：化二次型为标准型 正交替换法 配方法 三 初等变换法 上页 区回
第二节：化二次型为标准型 • 一， 正交替换法 • 二， 配方法 • 三， 初等变换法
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形. 设 x1=c11y1+c12y2++cinyn> x2 =C21V1+c22V2++c2nyn xn=cnly+Cn2y2++cmym 记C=(ci), 则上述可逆线性变换可记作 x=Cy
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , 设 , 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy
将其代入f=xAx,有 f=xTAx=(Cy)A(Cy)=y"(CTAC)y 定理1任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称 矩阵，则B也为对称矩阵且R(B)=R(A) 证明A为对称矩阵即有A=AT,于是 BT=CTAC)=CTAC=CTAC=B, 即B为对称矩阵. B=CIAC,.R(B)≤R(AC)≤R(A), 又A=(C）BC-,.R(A)≤R(BC)sR(B) .R(A)=R(B) 上页
f x Ax T = 证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T = R(B) R(AC) R(A), ( ) , 1 1 − − A = C BC 又 T ( ) ( ) ( ). 1 R A R BC R B − R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵
说明 1.二次型经可逆变换x=Gy后，其秩不变，但f 的矩阵由A变为B=CTAC; 2.要使二次型经可逆变换x=C变成标准形， 就是要使 yC ACy=kiy+k+kn -(y2, 也就是要使CTAC成为对角矩阵 王
说明 2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + + k y 就是要使 2. 要使二次型f经可逆变换 x = Cy变成标准形, ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2 = y y y k k k y y y n n n 也就是要使C AC成为对角矩阵. T ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但
正交替换法 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=人，即PTAP=人.把此结论应用于二次 型，有 定理2 任给二次型f=0gx,x,(a,=a人总有 正交变换x=Py,使f化为标准形 f=+++ 其中21,22，…，2是f的矩阵A=(a)的特征值
型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 = = − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定 理 任给二次型 总 有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = = = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f = y + y ++ y , , , ( ) . 其中1 2 n是 f 的矩阵A = aij 的特征值 一， 正交替换法