第六章 线性空间与线性变换 上页 回
第六章 线性空间与线性变换
第一节线性空间的定义与性质 一线性空间 定义1数域P是数集合，满足以下条件称为数域 1·包含零元素、单位元素；即 0∈P,1∈P, 2.对以下运算封闭：Va,b∈P→ a+beP,a-b∈P,ab∈P, ∈P(b≠0) b 上页 这回
第一节 线性空间的定义与性质 一 线性空间 定义 1 数域 P是数集合，满足以下条件称为数域 1 ． 包含零元素、单位元素；即 0 P, 1 P; 2． 对以下运算封闭： a,b P + , − , , P (b 0) b a a b P a b P ab P
定义2线性空间 V 非空集合ax,B,y∈V,P数域2,4，y∈P, 建立两种运算 加法⊕，数乘。 对于两种运算封闭a田B∈V;元oa∈V 关于定义的两种运算满足以下8条运算规律： 1) 加法交换律 a⊕B=B⊕0 加法结合律 a田(B田Y)=(C⊕B)田 3 存在零元素 0∈V,a⊕0=a 4) 存在负元素 a⊕B=0→B=-0,-&∈V 5) 分配律 (元+l)a=人oa©uoa 6) 分配律 九(a⊕β)=1ox⊕1oB 7) 结合律 2o(uoa)=(2l）o0 8) 单位 1oa=0,1∈P
定义 2 线性空间 V 非空集合 , , V ， P 数域 , , P， 建立两种运算 加法 ， 数乘 对于两种运算封闭 V; V 关于定义的两种运算满足以下 8 条运算规律： 1） 加法交换律 = 2） 加法结合律 ( ) = ( ) 3） 存在零元素 V, = 4） 存在负元素 = = −, − V 5） 分配律 ( + ) = 6） 分配律 ( ) = 7） 结合律 ( ) = () 8） 单位 1 =, 1 P
V称为线性空间（向量空间），a,B,y∈V称为向 量 注意： 线性空间中的元素不一定是通常意义下的 向(a,a,…,a）但是 统称为向量 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通 常意义下的加法与向量的乘 法。 区回
V 称为线性空间（向量空间）， , , V 称为向 量。 注意： * 线性空间中的元素不一定是通常意义下的 向( ) T a a a n , , , 1 2 但是 统称为向量 * 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通 常意义下的加法与向量的乘 法
例1n元有序数组构成的向量(a,a,…,an)的集 合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足 (1)-(8)条性质。这个集合构成向量空间，记为R”。 例2设V={o=(a,a2)a,a,∈R}和实数域R,定义 两种运算 Va=(a,a),B=(bb)Ev kER a®B=(a+b,a,+b)，koa=(ka,0) 显然第8条性质不满足1oa=(a,0)≠0 所以，V不能构成线性空间
例 1 n 元有序数组构成的向量( ) T a a a n , , , 1 2 的集 合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足 （1）-（8）条性质。这个集合构成向量 空间，记为 n R 。 例 2 设 { ( , ) , } V = = a1 a2 a1 a2R 和实数域R，定义 两种运算 = (a1 , a2 ), = (b1 ,b2 )V k R ( ) = a1 + b1，a2 + b2 ， ( ,0) 1 k = ka 显然 第 8 条性质不满足 1 = (a1 ,0) 所以，V 不能构成线性空间