第入节线性方程组解的结构 非齐次线性方程组： ax+a2x2+.+ainxn=b a21x1+a22x2+...+a2nxn=62 (10) amix+am2x2++amnxn=bm 如果有解(1)称为相容，否则(1)称为不相容
第六节 线性方程组解的结构 非齐次线性方程组: + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ................................ (1) 如果有解(1)称为相容,否则(1)称为不相容
41u a 记 a2 a22 A= a2n X= b= … dm Am2 b AX=b (2) 记A=(Ab)为方程组(1)或(2) 的增广矩阵 将A按列分块成为 A=(Q1 方程组(1)或(2) 可以写成 K
记: = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = n x x x X 2 1 = m b b b b 2 1 AX = b (2) 记 A = (A b) 为方程组(1)或（2）的增广矩阵 将 A 按列分块成为 ( ) A = 1 2 n 方程组(1)或（2）可以写成
(a d2 =b 即 +x202++xn0n=b 3) 下面四种说法等价： 方程组（①）有解； 向量b可以由向量组g,a2,,an线性表出； 向量组a,a,,a,与向量组a, an,b等价： ● 系数矩阵4=(a1a2…a,)与增广矩阵a=(db)秩相等 方程组(1)或(2)对应的齐次线性方程组为 4X=0 (4) 称(4为(1)或(2)的导出组
( ) 1 2 n n x x x 2 1 =b 即 x11 + x22 ++ xnn = b (3) 下面四种说法等价： ● 方程组(1)有解; ● 向量b可以由向量组 n , , , 1 2 线性表出; ● 向量组 n , , , 1 2 与向量组 n , , , 1 2 ,b等价; ● 系数矩阵 ( ) A = 1 2 n 与增广矩阵A = (A b)秩相等. 方程组（1）或（2）对应的齐次线性方程组为 AX=0 (4) 称(4)为（1）或（2）的导出组
定理7（相容性判别定理）方程组（①有解的充分必要条件是系数矩 阵A与增广矩阵A的秩相等。即R(A)=R(A) 性质1非齐次线性方程组(1的两个解)，2的差，-2是其导出 组(4)的解 性质2设是非齐次线性方程组()的一个解，5是（的导出组(4） 的解，则7+5是非齐次线性方程组(1)的解。 定理8设)是非齐次线性方程组(1)的一个解，气，52，，5m,是 其导出组(4)的基础解系，则x=刀+k气+k52++kn,5n,是非 齐次线性方程组(1)的通解， K
定理 7 (相容性判别定理) 方程组(1)有解的充分必要条件是系数矩 阵 A 与增广矩阵 A的秩相等。即 R(A)=R( A) 性质 1 非齐次线性方程组(1)的两个解 1 2 , 的差1 −2是其导出 组（4）的解. 性质 2 设是非齐次线性方程组(1)的一个解, 是(1)的导出组（4） 的解,则 +是非齐次线性方程组(1)的解. 定理 8 设 * 是非齐次线性方程组(1)的一个解, n−r , , , 1 2 是 其导出组（4）的基础解系,则 n r n r x k k k = + 11 + 2 2 ++ − − * 是 非 齐次线性方程组(1)的通解
求非齐次线性方程组(1)的结构式通解的一般步骤： (一)写出方程组(1)的增广矩阵A (二)对A做初等行变换，化为阶梯形B型阵，求R(A),R(4) 判断 ()如果R(4)≠R(A),则方程组无解： (ⅱ)如果R)=(A)=(未知量个数)，则方程组(1)有 唯一解： (进)如果R(4)=R(A)=r<n,则方程组(1)有无穷多解。 (三)在方程组有解时，由阶梯形B型阵写出方程组(1)的同 解方程组，求出它的一个特解)，（在有唯一解的情况下n 即为唯一解)；再求出它的导出组的一个基础解系 气，五，，5，；则方程组(1)的通解 x=刀+k51+k252++kn-,5m-
求非齐次线 性方程组（1）的结构式通解的一般步骤： （一）写出方程组（1）的增广矩阵A （二）对A做初等行变换，化为阶梯形 B 型阵，求 R（A）,R(A), 判 断 （i） 如 果 R(A)≠R(A),则方程组无解； （ⅱ）如果 R(A)=R(A)=n(未知量个数），则方程组（1） 有 唯一解； （ⅲ）如果 R(A)=R(A)=r < n,则方程组（1）有无穷多解。 （三）在方程组有解时，由阶梯形 B 型阵写出方程组（1）的同 解方程组，求出它的一个特解 * ,（在有唯一解的情况下 * 即 为 唯 一 解 ）； 再 求 出 它 的 导 出 组 的 一 个 基 础 解 系 n−r , , , 1 2 ；则方程组（1）的通解 n r n r x k k k = + 11 + 2 2 ++ − − *