北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 矩阵的对角化 第四节 实对称矩阵的对角化

第四节实对称矩阵的对角化 一、 对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化

第四节 实对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化

对称矩阵的性质 定理 实对称矩阵的特征值必为实数： 证明： 设为实对称矩阵A=(a,)n的特征值， X= 为对应的特征向量，即AX=几X，X≠0

定理 实对称矩阵的特征值必为实数. 证明: 1 ( ) , , , 0. ij n n n A a x X AX X X x   =      = =        设 为实对称矩阵 的特征值 为对应的特征向量 即 一、对称矩阵的性质

入表示2的共轭复数， X-= : 表示X的共轭复向量， A 表示A的共轭复矩阵， 由于A是实对称矩阵，所以AP=A=A

 表示 的共轭复数,  ( ) n T ij n A A A A A a A  = = = 表示 的共轭复矩阵, 由于 是实对称矩阵,所以 1 n x X X x     =       表示 的共轭复向量

于是由AX=九X, 取共轭可得 AX=X,即AX=X 取转置可得 X'A'=AX'. 所以 X'A'X=AX X

于是由AX X =  , , T T T X A X X X =  所以 AX X AX X = =   , , 可得 即 取共轭 . T T T X A X =  取转置可得

A=AT=A. 即得 XAX=元XX, 故 XAX=AX'X. 所以 (-)XX=0

( ) 0. T   − = X X 所以 , T A A A = = 由 , T T X AX =  X X 即得 , T T X X X X =  故