第二节相似矩阵和矩阵对角化 山 本节目的利用相似变换把一个矩阵化 成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的 条件和相似变换阵的求解方法
第二节 相似矩阵和矩阵对角化 ◼ 本节目的：利用相似变换把一个矩阵化 成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的 条件和相似变换阵的求解方法
相似矩阵的定义 口定义3己知矩阵A,B是两个n阶方阵如果有 在一个满秩矩阵P使得PAP=B 口则称A,B相似，记作A一B 口相似关系满足以下性质： (1)自反性：A~A: (2)对称性：A~B→B~A: (3)传递性：AB,B~C→A~C
相似矩阵的定义 ◼ 定义3 已知矩阵 ， 是两个 阶方阵如果存 在一个满秩矩阵 使得 ◼ 则称 ， 相似，记作 ◼ 相似关系满足以下性质： ◼ （1）自反性： ； ◼ （2）对称性： ； ◼ （3）传递性： A B n P P AP = B −1 A B A B A ~ A A ~ B B ~ A A ~ B, B ~ C A ~ C
些有用的定理 口定理3相似矩阵有相同的特征多项式，从而有 相同的特征值。 口证明：因为A,B相似，所以存在可逆阵P使 得PAP=B ∴B-E=|PAP-P(E)P =|P(4-E) =P-4-REP =A-
一些有用的定理 ◼ 定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有 相同的特征值。 ◼ 证明 ：因为 相似，所以存在可逆阵 使 得 ◼ ◼ P AP = B −1 A B, P ( ) 1 1 B E P AP P E P − − − = − ( ) 1 P A E P − = − 1 P A E P − = − = − A E
推论如果n阶方阵A与对角矩阵D=diag(入，2，…，入，) 相似，则，，，见，；也是的特征值 小 若方阵A能与一个对角阵相似，则称A可对 角化 口方阵A可对角化的判定条件 口定理4n阶方阵A可以与一个对角型矩 阵D相似的充分必要条件是，A有n个 线性无关的特征向量
推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。 ◼ 若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对 角化 ◼ 方阵 可对角化的判定条件 ◼ 定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩 阵 相似的充分必要条件是， 有 个 线性无关的特征向量。 ( , , , ) D = diag 1 2 n n , , , 1 2 n A A A A n A D A n
证明假设存在可逆矩阵P,使得PAP=D 为对角阵D=diag(,22,…,n), 设P=(pP,P2,…,P)，则由PAP=D →AP=PD 即 A(p1,p2,…,Pn）=(P1,P2,…Pn）
◼ 证明 假设存在可逆矩阵 ，使得 ◼ 为对角阵 ， ◼ 设 ，则由 ◼ 即 P 1 P AP D − = 1 2 ( , , , ) P p p p = n 1 2 ( , , , ) D diag = n = AP PD 1 P AP D − = 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p =