第四节逆矩阵 ·定义15设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方 阵B,使得 AB-BA-E (1) 则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵（简称 逆阵)，记为 B=A
•定义15 设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方 阵B，使得 AB=BA=E (1) 则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵（简称 逆阵），记为 −1 B = A 第四节 逆矩阵
推论：如果方阵A可逆，则逆阵唯一 证明：若B,C都是A的逆，即有 AB=BA=E, AC-CA=E B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 所以，逆阵唯一。 注意：在定义15中，A,B的地位是平等 的，即如果(1)成立，则B也可逆，并 且 B=4 区回
所以，逆阵唯一。 AB = BA = E, AC =CA= E B = BE = B(AC) = A −1 B 推论：如果方阵 A可逆，则逆阵唯一 若B,C都是A的逆，即有 注意：在定义15中，A，B的地位是平等 的，即如果（1）成立，则B也可逆，并 且 证明： = (BA)C = EC = C
定义16设A=(a,)为n阶方阵，A是 A中元素a,的代数余子式，则矩阵 A2 Ant A'= A2 A2 An2 A. 称为A的伴随矩阵 上页
中元素 的代数余子式，则矩阵 设 为 阶方阵， 是 i j i j Ai j A a A = (a ) n = n n n n n n A A A A A A A A A A 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 定义16 称为A的伴随矩阵
根据行列式展开定理和行列式的性质直接 计算得到 a11 a12 A A21 An a21 a22 a2n A2 A2 … An2 AA= am an2 Ain An A 40 0 A 00 =4E A'A=AE 0 0 上页 这回
根据行列式展开定理和行列式的性质直接 计算得到 n n n n n n A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 AA A E A A A = = 0 0 0 0 0 0 A A = AE = n n n n n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1
定理2方阵A可逆的充分必要条件是 A≠0，即A非奇异。并且当A可逆时， 证明：必要性 因为A可逆，即存在A使 AA=E 从而 4A4=A4=E=1 所以 A≠0， 即A非奇异。 上页 区回
即 非奇异。并且当 可逆时， 方阵 可逆的充分必要条件是 0, A A A A − = A A A 1 1 1 1 1 = = = − − 从而 A A AA E 所以 A 0, 即A非奇异。 AA = E −1 -1 因为A可逆，即存在A 使 定理2 证明：必要性