第三节向量的内积和Schmi dt正交化 一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题
第三节 向量的内积和Schmidt正交化 一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题
、 内积的定义及性质 定义1 设有n维向量 x= y : Xn 令 [x,y]=x1y+x2y2+.+xnyn 称[x,y]为向量x与y的内积
定义1 设有n维向量 , , 2 1 2 1 = = n n y y y y x x x x n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质
说明 1n(n≥4维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义。 2内积是向量的一种运算，如果x,都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： [,川=
说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n 4) , . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列
内积的运算性质 其中x,y,z为n维向量，为实数)： [,]=[b,x (2)2,y川=2x,] 3)[x+y,=[x,z+[y,z (4)儿x,≥0，且当x≠0时有，x>0
内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0
二、向量的长度及性质 定义2令 x=√x,=V+++2 称x为n维向量x的长度（或范数） 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; 2.齐次性2x=2x 3.三角不等式x+≤+
定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 , , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x 0时, x 0;当x = 0时, x = 0; x = x ; x + y x + y . 二、向量的长度及性质