148第五章定积分及其应用解令sinx=0,0≤x≤2元，得x=元，从而在[0,]上sinxsinx，在[元，2元]上|sinx-sinx，所以Jsin x| dx= J sin xdx+ ,(-sin x)dx =-cos xl +cos xl =4 .例9计算Vsinx-sinxdx，解由于Vsinx-sin'x=sin'x(l-sin"x)=sin'xcosx=sin/2x|cosx|,令cosx=0,0≤x≤元，得x=元/2，从而在[0,元/2]上cosx=cosx，在[元/2，元]上|cosx-cosx，所以[Vsin'x-sin' x dx = J sin/2 x|cosx | dx = f sin/2 xcosxdx+ J, sin /2 x(-cosx)dx- I'sin xoad-Isn xcoadt-Jsn* xd(sinx)-I sin xd(sin)=[2 sin /2 x/5]/2 -[2 sin5/2 x/51元/2 = 4/5
148 第五章 定积分及其应用 解 令sin x = 0, 0 £ x £ 2p ，得 x = p ，从而在[0, p ] 上|sin x |= sin x ，在[p, 2p ]上|sin x |= - sin x ，所以 2 2 2 0 0 0 sin x dx sin xdx ( sin x)dx cos x cos x 4 p p p p p p p | | = + - = - + = Ú Ú Ú ． 例 9 计算 3 5 0 sin x sin xdx p - Ú ． 解 由于 3 5 3 2 3 2 3 2 sin x - sin x = sin x(1- sin x) = sin xcos x = sin x | cosx | ， 令cosx = 0, 0 £ x £ p ，得 x = p 2 ，从而在[0,p 2]上 cosx = cosx ，在[p 2 , p ]上| cosx |= -cosx ，所以 2 3 5 3 2 3 2 3 2 0 0 0 2 sin x sin x dx sin x | cosx | dx sin xcosxdx sin x( cosx)dx p p p p p - = = + - Ú Ú Ú Ú 2 3 2 3 2 0 2 sin xcosxdx sin xcosxdx p p p = - Ú Ú 2 3 2 3 2 0 2 sin xd(sin x) sin xd (sin x) p p p = - Ú Ú 5 2 2 5 2 0 2 [2sin x 5] [2sin x 5] 4 5 p p = - p = ．
149第三节定积分的换元法与分部积分法第三节定积分的换元法与分部积分法有了N-L公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决，但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求。在定积分的计算中，除了应用N-L公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分部积分法会更加方便一、定积分的换元法定理1(读微分法）设函数g(x)在[a,b]上连续，又g(x)能凑成g(x)=[p(x)lp(x)，并且它的一个原函数为F[o(x)]，则J, g(x)dx=f 0(x)]do(x)= F[0(x)1 .例1计算cosxsin xdx.解 [cos'xsinxdx=-J.cos* x(cos x)'dx =-J.cos xdcosx=[-cos* x/6]/ =1/6.例2计算(+x)xdx解a+*)xdx=J(1+x)(1+x)x=a+*)d+x)=[1+×)/121=63/12.例3计算Vsinx-sinxdx，解JVsin'x-sinxdx=Jsin'x(1-sin'x)dx=Jsin'xcos xdx=J,sin' x|cosxdbJsinxcosxdx+xsinx(-cosx)dx=Jsinxd sinx-Jsinxd sinx=[2 sin52 x/5]号/2 -[2 sin5/2 x/5]/2 = 4/5 .定理2(第二换元法）设函数f(x)在[a,b]上连续，变换x=p()满足下列三个条件：(1)(α)=a, 0(β)=b;(2)p()在[α,(或[β,α])上连续;(3)当t在[α,β](或[β,α])上变化时，x=o(t)在[a,b]单调变化.则J, f(0)dt= J' f[o(0)lo(0)dt = 0(0)/,其中d(t)为[p(t)l(t)的一个原函数．该式称为定积分的变量代换公式或第二换元公式证由假设可知，上式两边的被积函数f(x)与[p(t)lp(n)都是连续的，因此上式两边的定积分都存在，且被积函数的原函数也都存在，设F(α)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，由N-L公式[f(x)dx=F(b)-F(a)另一方面，在[α,]上把t的复合函数d(t)=F[o(t)]对t求导，由导数的链式法则有D'(t)=(F[0(t)D' = F(x)'(t)= f(x)p'(t)= f[o(t)]g(t) ,可见(t)=F[p(t)是f[p(t)]p(t)的一个原函数．因此，再利用N一L公式，即得[ [o(t)]0(t) =F[0(t)/= F[o(βB)]-F[g(α)]又由(α)=a,p(β)=b知，F[p(β)-F[p(α))=F(b)-F(a)=["f(x)dx，所以
第三节 定积分的换元法与分部积分法 149 第三节 定积分的换元法与分部积分法 有了 N - L 公式， 使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决， 但是能计算与计算是否简便相比， 后者则提出更高的要求．在定积分的计算中，除了应用 N - L 公式，我们还可以利用它的一些特有性质， 如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分 法与分部积分法会更加方便． 一、定积分的换元法 定理 1 (凑微分法) 设函数 g(x) 在[a,b ]上连续，又 g(x) 能凑成 g(x) = f[j(x)]j¢(x) ，并且它的一个原 函数为 F[j(x)]，则 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] b b b a a a g x dx = f j x dj x = F j x | Ú Ú ． 例 1 计算 2 5 0 cos x sin xdx pÚ ． 解 2 2 5 5 0 0 cos x sin xdx cos x(cos x) dx p p = - ¢ Ú Ú 2 5 6 2 0 0 cos xd cos x [ cos x 6] 1 6 p p = - = - = Ú ． 例 2 计算 1 2 5 0 (1+ x ) xdx Ú ． 解 1 1 2 5 2 5 2 0 0 1 (1 ) [(1 ) (1 ) ] 2 + x xdx = + x × + x ¢ dx Ú Ú 1 2 5 2 0 1 (1 ) (1 ) 2 = + x d + x Ú 2 6 1 0 = [(1+ x ) 12] = 63 12． 例 3 计算 3 5 0 sin x sin xdx p - Ú ． 解 3 5 3 2 0 0 sin x sin xdx sin x(1 sin x)dx p p - = - Ú Ú 3 2 0 sin x cos xdx p = Ú 3 2 0 sin x cos x dx p = | | Ú 2 3 2 3 2 0 2 sin x cos xdx x sin x( cos x)dx p p p = + - Ú Ú 2 3 2 3 2 0 2 sin xd sin x sin xd sin x p p p = - Ú Ú 5 2 2 5 2 0 2 [2sin x 5] [2sin x 5] 4 5 p p = - p = ． 定理 2 (第二换元法) 设函数 f (x) 在[a,b ]上连续，变换 x = j(t) 满足下列三个条件： (1)j(a) = a ，j(b ) = b ； (2)j¢(t)在[a,b ] (或[b,a] )上连续； (3)当t 在[a,b ] (或[b,a] )上变化时， x = j(t) 在[a,b ]单调变化．则 ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f t dt f t t dt t b b a a = j j¢ = F Ú Ú ， 其中F (t) 为 f[j(t)]j¢(t) 的一个原函数．该式称为定积分的变量代换公式或第二换元公式． 证 由假设可知，上式两边的被积函数 f (x) 与 f[j(t)]j¢(t) 都是连续的，因此上式两边的定积分都存 在，且被积函数的原函数也都存在． 设 F(x) 是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，由 N - L 公式 ( ) ( ) ( ) b a f x dx = F b - F a Ú 另一方面，在[a,b ] 上把t 的复合函数F(t) = F[j(t)] 对t 求导，由导数的链式法则有 F¢(t) = (F[j(t)])¢ = F¢(x)j¢(t) = f (x)j¢(t) = f [j(t)]j¢ (t) ， 可见F(t) = F[j(t)] 是 f[j(t)]j¢(t) 的一个原函数．因此，再利用 N æ L 公式，即得 f [ (t)] (t) = F[ (t)] b b a a j j¢ j Ú = F[j(b )]- F[j(a)] 又由j(a) = a ，j(b ) = b 知， F[j(b )]- F[j(a)] = F(b) - F(a) ( ) b a = f x dx Ú ，所以