143第一节定积分的概念与性质例3估计(1+sinx)dx的值.解因为1≤1+sin2x≤2，所以1-(5元/4-元/4)≤[/ (1+sin2x)dx≤2.(5元/4-元/4),即(1+sin"x)dx≤2.<推论3 若(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上也可积，且"f(x)dx["1f(x)|dx证因为-(x)f(x)(x)，由性质 4，-(x)]dx(x)dx≤(x)lx，即1,5(x)dx≤,(x)| dx.定理5(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点5，使得[" f(x)dx= f(E)(b-a) .该式称为积分中值公式，证因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上可积，且有最小值m和最大值M.于是在[a,b]上，有m(b-a)≤[f(x)dx≤ M(b-a) ,从而f(x)dx≤Mnsh=根据连续函数的介值定理可知，在[a,b]上至少存在一点，使，f(x)dx=f()，即[f(x)dx= f()(b-a) .积分中值定理的几何意义：若f(x)在[a,b]上连续且非负，则f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以f()为高的矩形面积，如图5-4所示.J+y=I(x)1(2)图5-4定理6 (推广的积分中值定理)若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点，使得[" f(x)g(x)dx= f(5)f' g(x)dx .证不妨设在[a,b]上有g(x)≥0,则,g(x)dx≥0 ,且在[a,b]上mg(x)≤(x)g(x)≤ Mg(x),其中m,M分别为f(x)在[α,b]上的最小值与最大值。由此推出m, g(x)dx≤f, f(x)g(x)dx≤Mf g(x)dx .厂g(x)dx=0，则由上式知[(x)g(x)dx=0从而在[a,b)上任取一点作为，使得定理6成立.[. f(x)g(x)dx<M。按连续函数的介值定理推出，在[a,b]上至少存在一若g(x)dx>0，则得mJ.'g(x)dx
第一节 定积分的概念与性质 143 例 3 估计 5 4 2 4 (1 sin x)dx p p + Ú 的值． 解 因为 2 1£1+ sin x £ 2，所以 5 4 2 4 1 (5 4 4) (1 sin x)dx 2 (5 4 4) p p × p -p £ + £ × p -p Ú ,即 5 4 2 4 (1 sin x)dx 2 p p p £ + £ p Ú ． 推论 3 若 f (x) 在[a,b ]上可积，则| f (x)| 在[a,b ]上也可积，且 ( ) ( ) b b a a | f x dx |£ | f x | dx Ú Ú ． 证 因为- | f (x)|£ f (x) £| f (x)|，由性质 4， ( ) ( ) ( ) b b b a a a - | f x |dx £ f x dx £ | f x |dx Ú Ú Ú ，即 ( ) ( ) b b a a | f x dx |£ f x dx Ú Ú ． 定理 5 (积分中值定理)若 f (x) 在[a,b ]上连续，则在[a,b ]上至少存在一点x ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx = f x b - a Ú ． 该式称为积分中值公式． 证 因为 f (x) 在[a,b ]上连续，所以 f (x) 在[a,b ]上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在[a,b ] 上，有 ( ) ( ) ( ) b a m b - a £ f x dx £ M b - a Ú ， 从而 1 ( ) b a m f x dx M b a £ £ - Ú ． 根据连续函数的介值定理可知，在[a,b ]上至少存在一点x ，使 1 ( ) ( ) b a f x dx f b a = x - Ú ，即 ( ) ( )( ) b a f x dx = f x b - a Ú ． 积分中值定理的几何意义：若 f (x) 在[a,b ]上连续且非负，则 f (x) 在[a,b ] 上的曲边梯形面积等于 与该曲边梯形同底，以 f (x )为高的矩形面积，如图 54 所示． 图 54 定理 6 (推广的积分中值定理)若 f (x), g(x) 在[a,b ]上连续，且 g(x) 在[a,b ]上不变号，则在[a,b ]上 至少存在一点x ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx = f x g x dx Ú Ú ． 证 不妨设在[a,b ]上有 g(x) ³ 0， 则 ( ) 0 b a g x dx ³ Ú ， 且在[a,b ]上 mg(x) £ f (x)g(x) £ Mg(x) ， 其中m,M 分别为 f (x) 在[a,b ]上的最小值与最大值．由此推出 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a m g x dx £ f x g x dx £ M g x dx Ú Ú Ú ． 若 ( ) 0 b a g x dx = Ú ，则由上式知 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = Ú ．从而在[a,b ]上任取一点作为x ，使得定理 6 成立． 若 ( ) 0 b a g x dx > Ú ，则得 ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx m M g x dx £ £ Ú Ú ．按连续函数的介值定理推出，在[a,b ]上至少存在一
144第五章定积分及其应用点，使[" f(x)g(x)dx=(5),T'g(x)dr所以定理6成立
144 第五章 定积分及其应 用 点 x ，使 ( ) ( ) ( ) ( ) ba baf x g x dx f g x dx = x Ú Ú ， 所以定理 6 成立．
145第二节微积分基本公式第二节微积分基本公式若已知f(x)在[α,b]上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出定积分计算的简捷的公式---牛顿-莱布尼兹公式(N-L公式).一、微积分基本定理1.变上限积分函数设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，x是[a,b]上一点，那么f(t)dx存在。当上限x在[a,b]上任意变动时，「f(1)dx都有唯一确定的值与之对应，因而在区间[a,b]上可以定义一个函数F(x)=J f(t)dt,a≤x≤b,称之为函数f(x)在区间[a,b]上的变上限积分函数，简称变上限积分函数或变上限积分：其几何意义如图5-5中阴影部分的面积所示.1图5-52.微积分基本定理微积分基本定理不但回答了变上限积分函数F(x)是其被积函数f(x)在[a,b]上的一个原函数，而且肯定了F(x)也是连续函数，即定理1设f(x)在[a,b]上连续，则变上限积分函数F(x)在[a,b]上可导，且F'(x)=((" f(t)dt),=f(x), xe[a,b].证如图5-5，任取xe(a,b)，Ax±0，不妨设Ax>0，使x+Axe(a,b).应用积分对区间的可加性有AF(x)= F(x+Ax)-F(x) = J, f(0)dt+ J++ (0)dt - , f(0)dt = ++ f(t)dt ,再应用积分中值定理，在区间(x,x+Ax)中存在=x+Ax(0≤≤1)，使得AF(x)= J** f(0) dt= f(x+Ax)Ax,F= f(x+ 0At).即Ax又(x)在[a,b]上连续知，limf(x+Ax)=f(x)，所以AF-F()==m+)=()若x=a，取Ar>0，则同理可证F(a+0)=f(a)；若x=b，取△r<0，则同理可证F(b-0)=f(b)，因此定理1成立.变上限定积分对上限导数等于被积函数在上限处的值．例如
第二节 微积分基本公式 145 第二节 微积分基本公式 若已知 f (x) 在[a,b ]上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要 计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分 和积分的关系，引出定积分计算的简捷的公式牛顿 莱布尼兹公式( N - L 公式)． 一、微积分基本定理 1. 变上限积分函数 设 f (x) 是区间[a,b ]上的连续函数， x 是[a,b ]上一点，那么 ( ) x a f t dx Ú 存在．当上限 x 在[a,b ]上任 意变动时， ( ) x a f t dx Ú 都有唯一确定的值与之对应，因而在区间[a,b ]上可以定义一个函数 ( ) ( ) x a F x = f t dt ,a £ x £ b Ú ， 称之为函数 f (x) 在区间[a,b ]上的变上限积分函数，简称变上限积分函数或变上限积分．其几何意义如 图 55 中阴影部分的面积所示． 图 55 2. 微积分基本定理 微积分基本定理不但回答了变上限积分函数 F(x) 是其被积函数 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，而且 肯定了 F(x) 也是连续函数，即 定理 1 设 f (x) 在[a,b ]上连续，则变上限积分函数 F(x) 在[a,b ]上可导，且 ( ) ( ( ) ) ( ) x x a F¢ x = f t dt ¢ = f x Ú ， xŒ [a,b]． 证 如图 55，任取 x Œ (a,b) ， Dx ¹ 0 ，不妨设Dx > 0 ，使 x + Dx Œ (a,b)．应用积分对区间的可加性 有 DF(x) = F(x + Dx) - F(x) ( ) ( ) ( ) x x x x a x a f t dt f t dt f t dt +D = + - Ú Ú Ú ( ) x x x f t dt +D = Ú ， 再应用积分中值定理，在区间(x, x + D x)中存在x = x +q Dx (0 £ q £ 1) ，使得 ( ) ( ) ( ) x x x F x f t dt f x q x x +D D = = + D D Ú ， 即 ( ) F f x x x q D = + D D ． 又 f (x) 在[a,b ]上连续知， 0 lim ( ) ( ) x f x q x f x D Æ + D = ，所以 0 0 ( ) lim lim ( ) ( ) x x F F x f x x f x x q D Æ D Æ D ¢ = = + D = D ． 若 x = a ，取Dx > 0 ，则同理可证 F¢(a + 0) = f (a) ；若 x = b ，取 Dx < 0 ，则同理可证 F¢(b - 0) = f (b) ， 因此定理 1 成立． 变上限定积分对上限导数等于被积函数在上限处的值．例如
146第五章定积分及其应用(Jsintd)'=sinx，（f'sintdt)'=-sinx，但(fsintdt)'=sinx是错误的，因为它不符合上述结构形式特点。为了解决上限是β(x)的变上限积分的求导问题，我们给出如下微积分基本定理的推广：3.微积分基本定理的推广定理2设y=f(u)在[a,b]上连续，而u=(x)在[a,b]上可导，则[f(t)dt在[a,b]上可导，且(F[0(x))=(fa f(t)dt)= (0(x)g(x) .证因为y=f(u)在[a,b]上连续，由微积分基本定理，变上限积分F(u)=』"f(t)dt在[a,b]上关于u可导，且(F(u)=(f"f(t)dt)= f(u),又u=p(x)在[a,b)上关于x可导，因而复合函数F(u)关于x可导，并且有(F(u)=(F(u)-(u)，所以(F[p(x)l),= f(u)·u,= f[o(x)lp'(x)定理2还可以推广，我们有定理3设f(x)为连续函数，(x),(x)皆为可导函数，且存在复合[o(x)与f[y(x)，则Ja) (d) = 0(x)(x)- v(x)(x) .例1求[sinidi的导数。解(J, sintdt)=(-f,sintdt)=-(fsintdt),=-sinx.3x =-3x sinx;例2求sintdt 的导数。解（sintd)}=sinx.2x-sinx=2xsinx-sinx;例3求xsintdt的导数解(,xsin'tdt)=(xf。sin'idi)=x'-J。sin'tdt+x(。sin'td),=Jsin'tdt+xsin'x.若所给积分的被积函数中含有变上限变量x，则不能直接用变上限求导公式，通常处理方法是将被积函数中的x分离到积分号外面或进行变量替换变到积分限上.二、微积分基本公式微积分基本定理明确地告诉我们连续函数的原函数的存在性，也揭示了定积分与原函数的联系，使我们有可能通过f(x)的原函数来求定积分【f(x)dx．现在利用微积分基本定理来证明一个重要的定理，它给出了用原函数计算定积分的公式.定理4设函数f(x)在[a,b]上连续，若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则[f(x)dx = F(b)-F(a) -该式称为微积分基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式，简称N-L公式，证根据微积分基本定理，【f(t)dt是f(α)在[a,b]上的一个原函数，所以Jf(t)dt= F(x)+C, xe[a,b].上式中令x=a，得C=-F(a)，于是
146 第五章 定积分及其应用 0 ( sin ) sin x tdt ¢ = x Ú ， 1 ( sin ) sin x tdt ¢ = - x Ú ，但 2 2 0 ( sin ) sin x tdt ¢ = x Ú 是错误的，因为它不符合上述结构形式特点．为了解决上限是j(x) 的变上限积分的求导问题，我们给 出如下微积分基本定理的推广： 3. 微积分基本定理的推广 定理 2 设 y = f (u) 在[a,b ]上连续，而u = j(x) 在[a,b ]上可导，则 ( ) ( ) x a f t dt jÚ 在[a,b ]上可导，且 ( ) ( [ ( )]) ( ( ) ) ( ( )) ( ) x x x a F x f t dt f x x j j ¢ = ¢ = j j¢ Ú ． 证 因为 y = f (u) 在[a,b ]上连续， 由微积分基本定理， 变上限积分 ( ) ( ) u a F u = f t dt Ú 在[a,b ]上关于u 可 导，且 ( ( )) ( ( ) ) ( ) u u u a F u ¢ = f t dt ¢ = f u Ú , 又u = j(x) 在[a,b ]上关于 x 可导，因而复合函数 F(u ) 关于 x 可导，并且有( ( )) ( ( )) ( ) F x u x u ¢ = F u ¢ × u ¢ ，所以 ( [ ( )]) ( ) [ ( )] ( ) F x x j x ¢ = f u ×u¢ = f j x j¢ x ． 定理 2 还可以推广，我们有 定理 3 设 f (x) 为连续函数，j(x) , y (x) 皆为可导函数，且存在复合 f[j(x)]与 f[y (x)]，则 ( ) ( ) ( ( ) ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x x f t dt f x x f x x j y ¢ = j j¢ - y y ¢ Ú ． 例 1 求 3 0 sin x tdt Ú 的导数． 解 3 3 3 0 0 0 ( sin ) ( sin ) ( sin ) x x x x x x tdt ¢ = - tdt ¢ = - tdt ¢ Ú Ú Ú 3 2 2 3 = -sin x ×3x = -3x sin x ； 例 2 求 2 sin x x tdt Ú 的导数． 解 2 2 2 ( sin ) sin 2 sin 2 sin sin x x x tdt ¢ = x × x - x = x x - x Ú ； 例 3 求 2 0 sin x x tdt Ú 的导数． 解 2 2 2 2 0 0 0 0 ( sin ) ( sin ) sin ( sin ) x x x x x x x x tdt ¢ = x tdt ¢ = x¢× tdt + x × tdt ¢ Ú Ú Ú Ú 2 2 0 sin sin x = tdt + x x Ú ． 若所给积分的被积函数中含有变上限变量 x ，则不能直接用变上限求导公式，通常处理方法是将被 积函数中的 x 分离到积分号外面或进行变量替换变到积分限上． 二、微积分基本公式 微积分基本定理明确地告诉我们连续函数的原函数的存在性， 也揭示了定积分与原函数的联系，使 我们有可能通过 f (x) 的原函数来求定积分 ( ) b a f x dx Ú ．现在利用微积分基本定理来证明一个重要的定理， 它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理 4 设函数 f (x) 在[a,b ]上连续，若 F(x) 是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，则 ( ) ( ) ( ) b a f x dx = F b - F a Ú ． 该式称为微积分基本公式，也称为牛顿 莱布尼兹公式，简称 N - L 公式． 证 根据微积分基本定理， ( ) x a f t dt Ú 是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数，所以 ( ) ( ) x a f t dt = F x + C Ú ， xŒ [a,b]． 上式中令 x = a ，得C = - F(a) ，于是
147第二节微积分基本公式J°f(t)dt = F(x)- F(a) .再令x=b，即得["f(x)dx= F(b)-F(a) 在使用上，N-L公式也常写作[ f(x)dx=F(x),或[ f(x)dx=[F(x)]N-L公式就是它建立了定积分与不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在闭区间[a,b]上的定积分等于它的任一原函数在[α,b]上的增量，这就给定积分的计算开辟了一条新的途径例4计算门x/4-xdx.解 [x/4-x dx =[-(4-x)/2 /3F =8/3 .iadx例5计算07+ (a*0).Vadx解=[arctan(x/a)/al= (arctan /3)/a= 元/(3a) g2+x应当指出，应用N－L公式适用的条件是被积函数在积分区间[a,b上连续，同时由定积分存在定理知，在[α,b]上除有限个第一类间断点外处处连续的函数也是可积的.下面介绍分段连续函数的积分方法：只要把分段点及间断点作为分点，将区间[α,b]分成若干个子区间，然后分段积分再求和例6设[x2+], 0≤x≤1f(x)=3-x, 1<x≤3求f. f(x) dx解 f(x) x=J( +1) dx+(3-x) dx =[/3+x +[3x+x /21 =10/3,例7设J(n)=[z 0≤x<11≤x≤2求(x)=[f(t)dt在[0,2]上的表达式解当0≤x<1时，J(x)=x,f(t)=f，从而0(x)= J。 f(0) dt= JF dt=[/3]= x/3,当1≤x<2时，f(x)=x,f(t)=t，从而0(x) = f" f(t) dt+ f' f(0) dt = ft dt + , t dt =[r /3]l +r /21F= x /2 -1/6,[x/3,0≤x<1故d(x) =[x/2-1/6, 1≤x≤2当被积函数带有绝对值符号时，在作积分运算之前要先去掉被积函数中的绝对值符号其方法是令绝对值符号内的式子为零，求出在积分区间内的根，由这些根作为分点将积分区间分为若干个子区间，在各子区间内便可去掉被积函数的绝对值，从而变为分段函数积分，例8计算[Isinx| dx
第二节 微积分基本公式 147 ( ) ( ) ( ) x a f t dt = F x - F a Ú ． 再令 x = b ，即得 ( ) ( ) ( ) b a f x dx = F b - F a Ú ． 在使用上， N - L 公式也常写作 ( ) ( ) b b a a f x dx = F x Ú ， 或 ( ) [ ( )] b b a a f x dx = F x Ú ． N - L 公式就是它建立了定积分与不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在闭区间[a,b ]上的 定积分等于它的任一原函数在[a,b ]上的增量．这就给定积分的计算开辟了一条新的途径． 例 4 计算 2 2 0 x 4 - x dx Ú ． 解 2 2 0 x 4 - x dx Ú 2 3 2 2 0 = [-(4 - x ) 3] = 8 3 ． 例 5 计算 3 2 2 0 ( 0) a dx a a x ¹ + Ú ． 解 3 2 2 0 a dx a + x Ú 3 0 [arctan( ) ] (arctan 3) (3 ) a = x a a = a = p a ． 应当指出，应用 N - L 公式适用的条件是被积函数在积分区间[a,b ]上连续，同时由定积分存在定理 知，在[a,b ]上除有限个第一类间断点外处处连续的函数也是可积的． 下面介绍分段连续函数的积分方法：只要把分段点及间断点作为分点，将区间[a,b ]分成若干个子 区间，然后分段积分再求和． 例 6 设 2 1, 0 1 ( ) 3 , 1 3 x x f x x x Ï + £ £ = Ì Ó - < £ ， 求 3 0 f (x) dx Ú ． 解 3 1 3 2 0 0 1 f (x) dx = (x +1) dx + (3- x) dx Ú Ú Ú 3 1 2 3 0 1 = [x 3 + x] +[3x + x 2] =10 3． 例 7 设 2 , 0 1 ( ) , 1 2 x x f x x x Ï £ < = Ì Ó £ £ ， 求 0 ( ) ( ) x F x = f t dt Ú 在[0, 2]上的表达式． 解 当0 £ x < 1时， 2 2 f (x) = x , f (t) = t ，从而 2 3 3 0 0 0 ( ) ( ) [ 3] 3 x x x F x = f t dt = t dt = t | = x Ú Ú ， 当1 £ x < 2 时， f (x) = x , f (t) = t ，从而 1 1 2 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) x x F x = f t dt + f t dt = t dt + t dt Ú Ú Ú Ú 3 1 2 2 0 1 [ 3] [ 2] 2 1 6 x = t | + t | = x - ， 故 3 2 3, 0 1 ( ) 2 1 6, 1 2 x x x x x Ï Ô £ < F = Ì Ô Ó - £ £ ． 当被积函数带有绝对值符号时， 在作积分运算之前要先去掉被积函数中的绝对值符号． 其方法是令 绝对值符号内的式子为零，求出在积分区间内的根，由这些根作为分点将积分区间分为若干个子区间， 在各子区间内便可去掉被积函数的绝对值，从而变为分段函数积分． 例 8 计算 2 0 sin x dx p | | Ú ．