《高等数学》课程试卷习题（无答案）第8章 重积分习题

S1二重积分的概念与性质一、是非题1.设质量非均匀分布的薄板在坐标平面xoy上所占区域为D，其面密度f(x,y)在D上连续，则薄板质量可表示为[f(x,y)da.()2.设D是由y=4-x与y=0所围的区域，则[dg=4元()()3.设D是以原点为中心，半径为R的圆，则R-x-yda表示半球体的体积4. 设D: 0<x<1,0<y<1, 则[xyda<Jry'dg .C5.设f(x,y)在区域D上可积，则[f(x,y)da≤[if(x,y)|dg()二、填空题1.如果f(x,y)在区域D上连续，则二重积分f(x,y)doF2.如果f(x,y)≤0，则二重积分[[f(x,y)d表示曲顶柱体的3.如果f(x,y)=1，则二重积分[[f(x,y)d表示4．设区域D的面积为1，则[dxdy=15.设区域D：x2+y2+22≤R,=≥0，则半球体的体积用二重积分表示为三、选择题1.设区域D是|x2,|x下1，则[dxdy=():(C) 2(A) 8(B) 4(D)-42.设区域D是由x2+y≤2，贝则「[dxdy=（).(A)2元(B)4元22(C) 4元(D) 16元则 [[ dxdy = ().3.设区域D:y=x,y=0,x=1,x=0，贝n(A) 1/4(D) 1/2(B) 2(C) 14.设区域D:y=x,y=).x,y=2, 则 [[ ddy=(2D(A) 1/4(B) 1(C) 1/2(D) 25.设f(x,y)为D:x2+y2≤α2上的连续函数，则lim).f(x,y)da→0*元a(A)不存在；(B) f(0, 0) ;(C) f(1, 1) ;(D) f(0, 0) .四、解答题

§1 二重积分的概念与性质 一、是非题 1．设质量非均匀分布的薄板在坐标平面 xoy 上所占区域为 D ，其面密度 f (x, y)在 D 上连续，则薄 板质量可表示为 ( , ) D f x y ds ÚÚ ． ( ) 2． 设 D 是由 2 y = 4 - x 与 y = 0所围的区域， 则 4 D  ds = p ÚÚ ． ( ) 3．设 D 是以原点为中心，半径为 R 的圆，则 2 2 2 D R - x - y ds ÚÚ 表示半球体的体积． ( ) 4． 设 D : 0 < x < 1,0 < y < 1， 则 2 D x yds < ÚÚ 3 2 D x y ds ÚÚ ． ( ) 5． 设 f (x, y)在区域 D 上可积， 则 ( , ) ( , ) D D  | f x y ds |£ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ． ( ) 二、填空题 1．如果 f (x, y)在区域 D 上连续，则二重积分 ( , ) D f x y ds ÚÚ ． 2．如果 f (x, y) £ 0 ，则二重积分 ( , ) D f x y ds ÚÚ 表示曲顶柱体的 ． 3．如果 f (x, y) = 1，则二重积分 ( , ) D f x y ds ÚÚ 表示 ． 4．设区域 D 的面积为 1，则 D dxdy = ÚÚ 1． 5．设区域 D : 2 2 2 2  x + y + z £ R ,z ³ 0 ，则半球体的体积用二重积分表示为 ． 三、选择题 1．设区域 D 是| x |£ 2,| x |£1，则 D dxdy = ÚÚ ( ) ． (A) 8  (B) 4  (C) 2  (D) -4 2．设区域 D 是由 2 2 x + y £ 2 ，则 D dxdy = ÚÚ ( )． (A) 2p (B) 2 4p 2 (C) 4p (D) 16p 3．设区域 D : y = x, y = 0, x = 1, x = 0 ，则 D dxdy = ÚÚ ( )． (A) 1 4 (B) 2 (C) 1 (D) 1 2 4．设区域 D : 1 2 2 y = x, y = x, y = ，则 D dxdy = ÚÚ ( )． (A) 1 4 (B) 1 (C) 1 2 (D) 2 5．设 f (x, y) 为 2 2 2  D : x + y £ a 上的连续函数，则 2  0  1 lim ( , )d a  D f x y  a s p Æ + = ÚÚ ( )． (A)不存在； (B) f (0, 0)； (C) f (1, 1) ； (D) (0, 0) x f ¢ ． 四、解答题

1.比较[(x+y)d与[[(x+y)da大小，其中(1)区域D由x轴，y轴以及直线x+y=1所围成(2)区域D是由圆周(x-2)+(y-1)=2所围成2.比较n(x+y)dg与[n(x+y)dg大小，其中D(1）D是三角形区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)。(2）D是矩形闭区域：3≤x≤5，0≤y≤1.3．估计下列积分的值：(11=[[(2x2+2y2+9)dg，D是圆形闭区域x2+y2≤4.(2)1=[[(x+y+10)do，D是由圆周x2+y2=4围成1(3) I=-daI+bis0100+cos"x+sin"ys2(1）直角坐标下二重积分的计算一、是非题1.X型区域的特点是过其内部任一点且平行轴的直线与区域边界至少有一个点。)((2.如果积分区域D是椭圆形，那么D既是X型区域又是Y型区域，))3.二次积分上下限确定概括为后积先定限，限内划条线，先交上限写，后交下限见，(4.设D是由x+y=2，y=x和y=0所围成的闭区域，则[[ydxdy=1/3.()()5.设D是由y=x?和y=x所围成的闭区域，则[[xydxdy=1/5.6.交换积分'x["f(x,y)dy的次序，得dyff(x,y)dx()二、填空题1.设D:0≤xs,≤y≤，则[e"dxdy=2. 设D:0≤xs1y1,则[dxdy=1+ 13. 设D:0≤x≤a,0≤y≤b,则[[xy(x-y)dxdy=4. 设D:0≤x,0≤y≤2,则[ycos(xy)xdy=25.交换积分'dy/"f(x,y)dx的次序，得三、选择题1.如果[［dxdy=1，那么区域D是由(）所围成的.D(A)y=x+l,y=0和x=0，x=l(B)[x=1,ly=1

1．比较 2  ( ) D x + y ds ÚÚ 与 3  ( ) D x + y ds ÚÚ 大小，其中 (1)区域 D 由 x 轴， y 轴以及直线 x + y =1所围成． (2) 区域 D 是由圆周 2 2  (x - 2) + ( y -1) = 2 所围成． 2．比较 ln( ) D x + y ds ÚÚ 与 2  [ln( )] D x + y ds ÚÚ 大小，其中 (1) D 是三角形区域，三顶点分别为(1,0) ，(1,1) ，(2,0) ． (2) D 是矩形闭区域：3 £ x £ 5，0 £ y £1． 3．估计下列积分的值： (1) 2 2  (2 2 9) D I = x + y + ds ÚÚ ， D 是圆形闭区域 2 2  x + y £ 4 ． (2) ( 10) D I = x + y + ds ÚÚ ， D 是由圆周 2 2  x + y = 4 围成． (3) 2 2  | | | | 10  1 100 cos sin x y I d x y s + £ = + + ÚÚ §2 (1) 直角坐标下二重积分的计算 一、是非题 1．X 型区域的特点是过其内部任一点且平行 y 轴的直线与区域边界至少有一个点． ( ) 2．如果积分区域 D 是椭圆形，那么 D 既是 X 型区域又是Y 型区域． ( ) 3．二次积分上下限确定概括为后积先定限，限内划条线，先交上限写，后交下限见． ( ) 4．设 D 是由 x + y = 2 ，y = x 和 y = 0 所围成的闭区域，则 1 3 D ydxdy = ÚÚ ． ( ) 5．设 D 是由 2 y = x 和 y = x 所围成的闭区域，则 2  1 5 D x ydxdy = ÚÚ ． ( ) 6．交换积分 1 1  0  ( , ) x dx f x y dy Ú Ú 的次序，得 1  0 0  ( , ) y dy f x y dx Ú Ú ． ( ) 二、填空题 1．设 D : 0 £ x £1,£ y £ 1，则 x y D e dxdy + = ÚÚ ． 2．设 D : 0 £ x £1,£ y £ 1，则 2  2  1 D x  dxdy  y = + ÚÚ ． 3．设 D : 0 £ x £ a,0 £ y £ b ，则 ( ) D xy x - y dxdy = ÚÚ ． 4．设 : 0 ,0 2 2 D x y p £ £ £ £ ，则 2 2  cos( ) D x y xy dxdy = ÚÚ ． 5．交换积分 2 1  0  ( , ) y y dy f x y dx Ú Ú 的次序，得 ． 三、选择题 1．如果 1 D dxdy = ÚÚ ，那么区域 D 是由( ) 所围成的． (A) y = x +1， y = 0 和 x = 0 ， x = 1 (B) | x |= 1， | y |= 1

(C)2x+y-2=0，y=0和x=0，(D)[x+y=1,[x-y=12.设I=[/x+y2-1dxdy，D:1≤x+y≤2，则().(C) I=0（D）1±0，但符号不能确定(A)I>0(B) 1<03.设f(x,y)连续，且f(x,j)=xy+JJ(x,J)dxdy，其中D是由y=0，y=x，x=1所围区域，则)f(x,J)等于(I(A) xy;(B)2xy ;(C) xy+(D) xy+1.84。设D是xOy平面上以(1,1)(-1,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域，D,是D的第一象限部分，则[(xy+ cossiny)dxdy =().(A) 2J cosrsinydxdy (B) 2J xydxdy (C) 4J[(xy+cosrsiny)dxdy(D) 0.5．计算下列二重积分：(1)[(3x+2y)da，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域(2）xcos(x+y)da，其中D是顶点分别为(0,0)，（元,0)和(元,元）)的三角形区域.(3)[[(1+x)sinyd，其中D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域.(4）[[dxdy，其中区域D由曲线y=1-x?与y=x2-1围成(5）xyda，其中D是由圆周+y=4及y轴所围成的右半闭区域.(6)Je"da其中D是由|x|+|1所确定的闭区域。(7）J[(+y2-x)da，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域。（8）[[2xydxdy，其中D由抛物线y2=x及直线y=x-2所围成(9）[edxdy，D是由曲线y=x，y=0，x=1所围成的区域.6.计算下列积分(2) J [xy|dxdy(1) J (x)+yl)dxdy(3) JJ 1y-x" [dxdy1b1s+y's1055118.交换下列积分的积分次序(2)((3dV3-(4)]a]; f(x, )dx(5) J'dyF(x,)ay(6)aa(x, )dy19.交换积分次序，计算下列积分(2)].aj5(f'r'dxf'er dy(3)f,dxf,r/1-x +y'dy.(4) "darf i yedy(5) 'af,x sin dr

(C) 2x + y - 2 = 0 ， y = 0 和 x = 0 ， (D) | x + y |= 1，| x - y |=1 2．设 3  2 2  1 D I = x + y - dxdy ÚÚ ， 2 2  D :1 £ x + y £ 2 ，则( )． (A) I > 0 (B) I < 0 (C) I = 0 (D) I ¹ 0 ，但符号不能确定 3．设 f (x, y)连续，且 ( , ) ( , ) D f x y = xy + f x y dxdy ÚÚ ，其中 D 是由 y = 0 ， 2 y = x ， x = 1 所围区域，则 f (x, y)等于( )． (A) xy ； (B) 2xy ； (C) 1 8 xy + ； (D) xy +1． 4．设 D 是 xOy 平面上以 (1,1),(-1,1),(-1,- 1) 为顶点的三角形区域， D1 是 D 的第一象限部分，则 ( cos sin ) D xy + x y dxdy = ÚÚ ( )． (A) 1 2 cos sin D x ydxdy ÚÚ (B) 1 2 D xydxdy ÚÚ (C) 1 4 ( cos sin ) D xy + x y dxdy ÚÚ (D) 0． 5．计算下列二重积分： (1) (3 2 ) D x + y ds ÚÚ ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x + y = 2 所围成的闭区域． (2) cos( ) D x x + y ds ÚÚ ，其中 D 是顶点分别为(0,0) ，(p ,0) 和(p,p ) 的三角形区域． (3) (1 )sin D + x yds ÚÚ ，其中 D 是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2) 和(0,1) 的梯形闭区域． (4) D dxdy ÚÚ ，其中区域 D 由曲线 2  y = 1- x 与 2  y = x -1 围成． (5) 2 D xy ds ÚÚ ，其中 D 是由圆周 2 2  x + y = 4 及 y 轴所围成的右半闭区域． (6) x y D e ds + ÚÚ 其中 D 是由| x | + | y |£ 1所确定的闭区域． (7) 2 2  ( ) D x + y - x ds ÚÚ ，其中 D 是由直线 y = 2 ， y = x 及 y = 2x 所围成的闭区域． (8) 2  2 D xy dxdy ÚÚ ，其中 D 由抛物线 2 y = x 及直线 y = x - 2 所围成． (9) y x D e dxdy ÚÚ ， D 是由曲线 2 y = x ， y = 0 ， x = 1 所围成的区域． 6．计算下列积分 (1) ( ) 2 2 1  | | | | x y x y dxdy + £ + ÚÚ (2) | | | | 1  | | x y xy dxdy + £ ÚÚ (3) 2  1 1  0 1  | | x y y x dxdy - £ £ £ £ - ÚÚ 18．交换下列积分的积分次序 (1) 2 2 2  2  ( , ) a ax x a a x dx f x y dy - Ú Ú - (2) 2 2  1 0  ( , ) y dy f x y dx - Ú Ú (3) 2 2 0  ( , ) a y a  a y dy f x y dx + Ú Ú - (4) 0 1  1 2  ( , ) y dy f x y dx - Ú - Ú (5) 2 2 1 3  1  0  2  ( , ) y y dy f x y dy - Ú Ú (6) 2 1  0  ( , ) x x x dx f x y dy Ú Ú - 19．交换积分次序，计算下列积分 (1) 1 1  2 2  0 y x x dx e dy - Ú Ú (2) 2 1  2  0 0 y x dx e dy - Ú Ú (3) 1  2 2  0 0  1 x dx x - x + y dy Ú Ú ． (4) 2 2  1 1 xy x dx ye dy Ú Ú (5) 1 1  2  0  sin y dy x xydx Ú Ú

7.设f(x,J)连续，且f(x,)=x+yJJf(x,y)dxdy，其中D是由y=y=2，x=1所围区域，求f(x,y).s2(2)极坐系下的二重积分计算一、是非题1.在极坐标系中的面积元素da=rdrdo)(2.直角坐标系中的二重积分[f(x,y)dxdy变换成极坐标公式为[f(rcos6,rsinの)drde)I3.区域D的面积在极坐标系下可表示为[[rdrd()4.极坐标系下二重积分化为二次积分的积分次序一般是“先e后，”积分，()5.极坐标系下二次积分的上下限是随极点与积分区域边界曲线的相对位置而确定的(O二、填空题1. 设1D为x+y≤1在第一象限的部分。则1在极坐标下的二次积分dxdy，1为2. 设1=dy，则1化为极坐标下的二次积分为￥2十e)d+j，其中0<a<b，0<</2为常数.则13. 设1=dj化为极坐标下的二次积分为14. =J,aj-dy，则1化为极坐标下二次积分为x +y* /4a2 -(x2 + y)5.区域a≤r≤a(1+cos)的面积为三、单项选择题1．积分d(,)y可以化为（）(4) fdef"f(rcos0,rsino)rdr(B) fμdef(rcos,rsin)rdr(C) f, dof"f(rcos,rsin0)rdr(D) [dof" f(rcos0,rsin0)rdr2.累次积分doff(rcos0,rsin0)rdr可写成（h(A) f'af)(B) '(x,)d"f(x,y)dx(C) f'dxf' f(x, )dy(D) /'dxf(x,y)dy3.设f(x,y)为D:1≤x2+y"≤4上的连续函数，则[[f(x+y)dxdy=(1

7．设 f (x, y)连续，且 ( , ) ( , ) D f x y = x + y f x y dxdy ÚÚ ，其中 D 是由 1 y  x = ， y = 2 ， x = 1 所围区域， 求 f (x, y)． §2(2) 极坐系下的二重积分计算 一、是非题 1．在极坐标系中的面积元素ds = rdrdq ． ( ) 2．直角坐标系中的二重积分 ( , ) D f x y dxdy ÚÚ 变换成极坐标公式为 ( cos , sin ) D f r q r q drdq ÚÚ ． ( ) 3．区域 D 的面积在极坐标系下可表示为 D rdrdq ÚÚ ． ( ) 4．极坐标系下二重积分化为二次积分的积分次序一般是“先q 后 r ”积分． ( ) 5．极坐标系下二次积分的上下限是随极点与积分区域边界曲线的相对位置而确定的． ( ) 二、填空题 1．设 1  2 2  2  2 2  1 1 D x y  I dxdy  x y Ê - - ˆ = Á ˜ Ë + + ¯ ÚÚ ， D 为 2 2  x + y £ 1在第一象限的部分．则 I 在极坐标下的二次积分 为 ． 2．设 2 1  0  2 2  x 1 x I dx dy  x y = + Ú Ú ，则 I 化为极坐标下的二次积分为 ． 3．设 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin  ( ) ( )  0 sin cot a  φ  b y b  φ  b y x y x y a y a  φ  y φ  I dy e dx dy e dx - - - + - + - = + Ú Ú Ú Ú ，其中0 < a < b ，0 < φ < p 2 为常数．则I 化为极坐标下的二次积分为 ． 4．设 2 2 0  2 2 2 2 2  1 4 ( ) a a a x x I dx dy  x y a x y - + - = + - + Ú Ú ，则 I 化为极坐标下二次积分为 ． 5．区域a £ r £ a(1+ cosq ) 的面积为 ． 三、单项选择题 1．积分 2 2 1 1  0 1  ( , ) x x dx f x y dy - Ú Ú - - 可以化为（ ） (A) 1  2 0 0  d f (r cos ,rsin )rdr p q q q Ú Ú (B) 0 1  0  2 d f (r cos ,rsin )rdr p q q q Ú- Ú (C) 2 1  0 0  d f (r cos ,rsin )rdr p q q q Ú Ú (D) 1  2  0  2  d f (r cos ,rsin )rdr p p q q q - Ú Ú 2．累次积分 cos 2 0 0  d f (r cos ,rsin )rdr p q q q q Ú Ú 可写成（ ） (A) 2 1 1  0 0  ( , ) y dy f x y dx - Ú Ú (B) 2 2 1 1  0 1  ( , ) y y dy f x y dx - Ú Ú- - (C) 1 1  0 0  dx f (x, y)dy Ú Ú (D) 2 1  0 0  ( , ) x x dx f x y dy - Ú Ú 3．设 f (x, y) 为 2 2  D :1 £ x + y £ 4 上的连续函数，则 2 2  ( )d d D f x + y x y = ÚÚ ( )．

(B) 2元[,f(r)dr+Jf(r)dr(A) 2元[rf(r)dr(D) 2元[r(r)dr+Jg(r)dr(C) 2元/,rf(r*)dr四、解答题1.利用极坐计算下列二重积分：dxdy(1) (G, D: 1<x+y'<4.Jx2+ y2(2) [[In(1+x+y°)dxdy, D: x2 +y2≤1, x≥0, y≥0.(3) J[VP+ydxdy, D: x +y'≤2x.2.计算下列二重积分：(1)[[e-r-rd,其中α=(x,y)x +y?≤R"):(2)[13x+4y|dxdy,D :x +y"≤1.83三重积分一、是非题则dy1.设Q:x++R2,)2. 设Q:x+2+z≤R,则xdv=0，zdy=0-3.设:x+2+2≤R”,,=≥0，则[[xydy=[[yzdy=[[zxdy=0)(4.设Q:x+y+2*≤R，x≥0,y≥0,z≥0，则[[zd=R)(165.设: z=x +y,=1,则 J f(x,y,2)dxdyd='dxdy+(x,y,2)dz.()6. 设Q:0≤x≤1,0≤ys1,0≤=≤1, 则 J(x+y+=)dxdyd=f'dx'dyf(x+y+=)d(1.二、填空题1.设Q：z=xy，x+y=1，z=0，则[[f(x,y,=)dxdyd=按先=再y后对x顺序的三次积分是2.设Q：z=x2+2y2，z=2-x，则[f(x,J,=)dxdyd按先z再y后x顺序的三次积分是-x3. 「',dx[可(x,J,=)d按先x再y后=顺序的三次积分是4.设Q:==0,==y,y=1及y=x，则5.设Q:x+y+2≤1,2≥0，则[[[(x+1)(y+ 1)(= +1)dv =

(A) 2  1  2p rf (r)dr Ú (B) 2 1  0 0  2p rf (r)dr rf (r)dr È ˘ + ÍÎ ˙ ˚ Ú Ú (C) 2  2  1  2p rf (r )dr Ú (D) 2 1  2 2  0 0  2p rf (r )dr rf (r )dr È ˘ + ÍÎ ˙ ˚ Ú Ú 四、解答题 1．利用极坐计算下列二重积分： (1) 2 2 D dxdy  x + y ÚÚ ， D : 2 2  1 £ x + y £ 4 ． (2) 2 2  ln(1 ) D + x + y dxdy ÚÚ ， D ： 2 2  x + y £ 1， x ³ 0 ， y ³ 0 ． (3) 2 2 D x + y dxdy ÚÚ ， D ： 2 2  x + y £ 2x ． 2．计算下列二重积分： (1) 2 2 x y e d s s - - ÚÚ ，其中 2 2 2  s = {(x, y) | x + y £ R }； (2) | 3 4 | D x + y dxdy ÚÚ ， D ： 2 2  x + y £ 1． §3 三重积分 一、是非题 1．设W : 2 2 2 2  x + y + z £ R ，则 4 3  3 dv  πR W = ÚÚÚ ． ( ) 2．设W : 2 2 2 2  x + y + z £ R ，则 xdv 0 W = ÚÚÚ ， zdv 0 W = ÚÚÚ ． ( ) 3．设W : 2 2 2 2  x + y + z £ R ，, z ³ 0 ，则 xydv yzdv zxdv 0 W W W = = = ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ． ( ) 4．设W : 2 2 2 2  x + y + z £ R ，x ³ 0, y ³ 0,z ³ 0 ，则 4  16 zdv R p W = ÚÚÚ ． ( ) 5．设W : 2 2 z = x + y ，z = 1，则 2 2 2 2 1 1  ( , , ) ( , , ) x x x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz 1- -1 - 1- + W = ÚÚÚ Ú Ú Ú ． ( ) 6．设W : 0 £ x £ 1,0 £ y £ 1,0 £ z £ 1，则 1 1 1  0 0 0  (x y z)dxdydz dx dy (x y z)dz W + + = + + ÚÚÚ Ú Ú Ú ． ( ) 二、填空题 1． 设W : z = xy ，x + y =1，z = 0 ， 则 f (x, y,z)dxdydz W ÚÚÚ 按先 z 再 y 后对 x 顺序的三次积分是 ． 2． 设W : 2 2  z = x + 2y ， 2 z = 2 - x ， 则 f (x, y,z)dxdydz W ÚÚÚ 按先 z 再 y 后 x 顺序的三次积分是 ． 3． 2 2 2 2 1 1 1  1 1  ( , , ) x x x y dx dy f x y z dz - Ú - Ú - - Ú + 按先 x 再 y 后 z 顺序的三次积分是 ． 4．设W : z = 0, z = y, y = 1及 2 y = x ，则 xzdv W = ÚÚÚ ． 5．设W : 2 2 2  x + y + z £1, z ³ 0 ，则 (x 1)( y 1)(z 1)dv W + + + = ÚÚÚ ．