综合练习题及解答:343·82(1)IA-BD-'CI.IDI;DL(2) (A-BD-1C)-1-A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1设实对称矩阵A所有特征根的模都是1，请证6.（武汉大学）1明：A为正交矩阵7.（华中师范大学）设A为m×n实矩阵，证明：线性方程组AX-0与AAX-0同解8.（中国科学院原子能研究所）已知A矩阵经过P矩阵可以变成相似矩阵C,C为对角矩阵，求证P矩阵是由A的特征向量构成的.设A是数域P上的rXn矩阵，B是P上（n-9.（山东大学）A是非奇异矩阵，证明：n维线性空间r)Xn矩阵,CP"(X-(,2,*",,)'l,EP)是齐次线性方程组AX一0的解子空间V,与BX=0的解子空间V，的直和.10.（南京大学）设V一C*（C为复数域），f为V上线性变换，fe，e2es,el为V的基，而f(e)=e1+2ez+6e3+7e4,f(e2)-—2e,—4e2-12e3-14e4,fe3)=3e1+5e2+17e3+18eaf(e)--4e+7e2—9e3+17e4试求Kerf(即f-1(0))之基底与维数11.（武汉大学）求A500，其中001O0-1-11A-11102022
344·高等代数习题详解设A与B是实正定矩阵，证明：AB是正定矩12.（山东大学）阵的充要条件是A与B可换，综合练习题解答综合练习题（一）解答1.证设+十1的两个复根为β，则-1.因为++1=()(),且++()+g()1,所以(α))f(")+g(),于是有(f(1)+ag(1)0,(f(α)+ag(α)=0,或lf(1)+pg(1)=0./()+g(p")0,由于α≠β.解得f(1)=g(1)=0.2.解fna-1a-1α~(μ~2)a-11a(a3)a2[A]=1a:::Qn-3131-2G用第1列的（一α-1)倍加到第2列上，可使第2列的元素全变为0，所以1A|=0.设方程组①的系数矩阵为A，将A用初等行变换化为3. 解阶梯形矩阵11111(1111(11-6-2-2011-3321A-26216020216lo-1-22153-134
·345-综合练习题及解答111r1170122600000000002-3.所以秩A一2，基础解系所含向量个数=5再求αα2αα的-个极大线性无关组，将它们写成列向量，再作行初等变换化为阶梯形1105176116175-2-10-8-6-23-10-8-61-2-5313521- 2-50]35-21111O1(111021-2024303-6lo-2)241(10-102-110000100000000所以α为α的一个极大线性无关组，由此可知方程组的解不能都用α1,α23,α线性表出，再令α=（1，一2100），它也是方程组①的解，且ααza线性无关，从而它是方程组①的一个基础解系，即为所求，?X-AX+---+B4.解由②1X-1=AX:2+B
高等代数习题详解·346*式①一式②得X,-X+-1-A(X..1-X.-2)-A(X-2-X+-3)-.?-A*-1(X,-X,)-A*-'XI,XI-AX.十B=B=I而X+-X+-1-A*-1.由式③得X,-X-1+A+-1-(X+-2+A*-2)+A+-1所以=(X,+A)+A?+...+A*-1④I+A+A?+..+A-)?X,=I+A+A?++A"-1但是A"=1.所以由式可得(n=3m),(m)(n= 3m+ 1),X.=^mJ+1(n=3m+2).(mJ+I+A(11)11111=其中111AB-I-A(B-I)+A-1,5.证秩（AB-I)≤秩A（B一I)十秩（A-I)所以≤秩(B-1I)+秩(A-I)=p+9130zT121334+-3T26. 解33217+4,2t233211-5+8x(r)x3+x2,11333111[3)33T2令Y20-513Ys001
·347:综合练习题及解答即作非退化线性变换105Yi00Y2K212Y3331#x+8ys,使f(x1,r2,r3)-3yi-于是得的符号差一2一1一1.7.解因为A为实对称矩阵，从而B也是实对称矩阵，并算得IA|=(—2)2,所以1g- 0.入=入2-2,从而存在正交矩阵T，使(2T-1AT:20所以T-IBTT-1(I+A)"T-T-I(I+A)T.T-I(I+A)T12((R+2)2[k+2①(K+2)2-k+22k[(k+2)2(+2)2令Λt]则B~Λ.又由式①可知，B的特征值为μ=(十2)2， μ2=(k+2), =k2,B为正定矩阵u>0（i=1,2，3）所以