·338·高等代数习题详解的解空间的维数，9.（长春地质学院）若n阶方阵A=（a）的每行元素之和都为常数α，求证：(1）a为A的一个特征值；（2）对任意自然数m，A"的每行元素之和为a"，10.（中山大学，华中师范大学）设N，T是n维线性空间V的任意两个子空间，维数之和为n：求证：存在线性变换&，使Q-1(0)=N.V-T11.（四川大学）设[11-11120A=oJ(1-1试用哈密顿-凯莱定理，求A~112.（中山大学）设V，V，是n维欧氏空间V的线性子空间，且V.的维数小于V，的维数，证明V，中必有一非零向量正交于V中的一切向量，综合练习题（六）设n2且a1.a2,，a是互不相同的整1.（华中师范大学）#数，求证：f(r)=(ra)(r-a2)(za.)-1不能分成两个次数都大于零的整系数多项式之积，已知≠0，不展开行列式面证明下述2.（吉林工业大学）恒等式：101111o22yTy2?y21102x0yzy+亚221220x02y3y22201120y+z2+3+1z2y@
综合练习题及解答·339·3.（武汉大学，新疆工学院）请证明：如果向量β可由α，α2，，α线性表示，则表示法唯一的充要条件是α，α2，.，α，线性无关.设A"-21B-A2—2A十21,求B-14.（南京大学）设A，B，C，D都是n阶方阵，并且AC一CA，试5.（武汉大学）证明：ABIAD--CBICD6.（复旦大学）设A一（a）是n阶正交矩阵，证明Aij=士aij(i,j=l,2,.,n),其中A，为a的代数余子式7.（高数二，1997年）入取何值时，方程组[2x+2—1,—2十+=2,4+52—51:=—1无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时，写出方程组的通解8.（东北师范大学）令S，和S，都是线性空间V的子空间，姐果S,US，也是V的子空间，则或者S,三S，或者S二S19.（武汉测绘科技大学）若A是n阶矩阵，当有一个常数项不为0的多项式(x）使f（A）一0时，A的特征值定全不为010.（华南理工大学）元素属于实数域R的2×2矩阵，按矩阵加法和矩阵与数的乘法构成数域R上的一个线性空间令M一[1 2]，在这线性空间中，变换1o:3J@F(A)-AM-MA是一个线性变换，试求F的核的维数与一个基
·340·高等代数习题详解11.（南京大学）若复数域F上的n阶方阵A"-A (1<m≤n<o0),求证：A必与一个对角阵相似：若限于实数域，如何？12.（华中师范大学）设A=（a）是n阶实可逆矩阵，α一(aua12，"，a）是A的第-行元素组成的行向量，V出（α）是R的子空闻间，求V在R”中的正交补综合练习题（七）1.（华中师范大学）设p是素数，a是整数，f（r）一az+pz+1，且p1（a十1）证明：f（x）没有有理根2.（高数二，1999年）设行列式2-3X-2r-1x22x-22x-22x--32r—13r—53r—33r-24x-54r-34.15.r-74r-3).为/（），则方程（）二0的根的个数为（(C) 3(D) 4(B) 2(A) 13.（高数三，2000年）已知向量组B一（0，1，一1），B一a,2,1）,=6,1,0),与向量组α=（1,2,—3)，α2（3,0,1)α一（9，6，一7）具有相同的秩，且β可由α1αz，α线性表出，求a，b的值4.（中国科学院）求证：不存在正交矩阵A，B，使A2一AB十B2.5.（内蒙古大学）已知齐次线性方程组ax+a12++anr,=0,+2++=0,①[amt+anI2++anx-0
绿合练习题及解容·347-有非零解，问能否找到b，b2，b，使系数为上述方程组的系数矩阵之转置，右端为bb2，，b之方程组anx+aaz+..+aut,=ba12F+a222+...+a2=b2②at+at++ant=b有唯一解？试述理由6.（高数三）设3阶方阵A的伴随矩阵为A，且IA|一求I(3A)-1-2A" 1.7.（华中师范大学）设B，C分别是m阶与n阶方阵，B可逆，AC令G=证明：G可逆的充要条件是C一AB-1D可逆BD8.（华中科技大学）令M（F）是数域F上全体n阶方阵所组成的向量空间，令S-(AEM.(F)IA-A),T-(AEM(F)IA'--A).试证:M,(F)一SOT.9.（吉林大学）（1）设A是n×n方阵，若，2是A的不同的特征值，X，X是相应的特征向量。证明：X十X，不是A的特征向量；（2）设A是n×n方阵，若A=1证明：A的特征值为-1和1.10.（上海交通大学）设V是全体次数不超过n的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义V上的线性变换TLf(r)J=()-f()， 对任意f()EV.(1）求T的核T-1（0)和值域T（V);
·342-高等代数习题详解(2)证明:V=T-1(0)田T(V)11.（华中师范大学）设A是n级实可逆矩阵，证明：存在实系数多项式g(α),使得A-1=g(A)12.（浙江大学）设A是秩为的n阶方阵（1）证明：A一A的充要条件是存在秩为r的nXr矩阵C，使得A=CB，BC=I，其中I.为r阶单位阵；(2）当A=A时，证明：|21-A|=2n一r，1A十|=2°综合练习题（八）1、（中国人民大学）若（x一1）（），问是否必有（"一1）1x"），若不成立，举出反例，若成立，请说明理由：2.（湖北大学）计算738427327D=3042543443721.621-972已知向量组（1）αα（1）:3.（高数兰，1995年）如果各向量组的秩分别为秩（I）z,a,a4;():a,a2,,a.秩（）3，秩（）一4，证明α1α2,α,α—α的秩为4已知3阶矩阵A的逆矩阵为4.（高数四，1995年）111A-1-21131１试求伴随矩阵A”的逆矩阵BA设有分块阵，其中A，D可逆，证5.（中国科技大学）CD明：