麦克劳林公式8m当xo=0时，泰勒公式为f(x) = f(0) + f'(0)x + "(°),(n)(0)2xn + Rn(x),2!n!其中，Rn(x) =o(x"),Fn+)(xn+1, 至介于 0, x 之间, 常记为于= x,日 E (0,1),或 Rn(x) = I(n+1)!此公式称为带佩亚诺或带拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式。麦克劳林公式可将一个复杂的函数转化为一组简单的幂函数之和，在极限计算，求导乃至积分中，均有着重要的作用。15
15 麦克劳林公式 当 �� = � 时，泰勒公式为 � � = � � + � ′ � � + � ′′ � �! � � + ⋯ + � � � �! � � + �� � ， 此公式称为带佩亚诺或带拉格朗日余项的 � 阶麦克劳林公式。 其中，�� � = � � � ， 麦克劳林公式可将一个复杂的函数转化为一组简单的幂函数之和， 在极限计算，求导乃至积分中，均有着重要的作用。 或 �� � = � �+� � �+� ! � �+� ，� 介于 �, � 之间，常记为 � = ��, � ∈ �, �
麦克劳林公式对于一些基本初等函数，采用直接求导的方式，求出麦克劳林展开式的系数2edxrnxn+1, θE(0,1), xER。例 f(x)=ex=1+x+++2!(n+1)/n!16
16 麦克劳林公式 对于一些基本初等函数， 采用直接求导的方式，求出麦克劳林展开式的系数。 例 � � = � � = � + � + � � �! + ⋯ + � � �! + � �� �+� ! � �+� ，� ∈ �, � ，� ∈ �
麦克劳林公式+2x5x3x4例ex=1+x++152!4!3!当n=0时为常值函数y=1;当n=1时为函数曲线的切线y=1+x;x2当n=2时为曲线的二次拟合y=1十x十2在x=0的邻域内，拟合曲线局部的误差为0(xn)n=0edxxn+1可知,而在实轴上，由拉格朗日余项(n+1)2拟合曲线亦整体趋向于函数曲线。17
17 麦克劳林公式 例 � � = � + � + � � �! + � � �! + � � �! + � � �! + � � � 。 当 � = � 时为常值函数 � = �； 当 � = � 时为函数曲线的切线 � = � + �； 当 � = � 时为曲线的二次拟合 � = � + � + � � � ；. 在 � = � 的邻域内，拟合曲线局部的误差为 � � � ， 而在实轴上，由拉格朗日余项 � �� �+� ! � �+� 可知， 拟合曲线亦整体趋向于函数曲线