泰勒公式Rn(x)定理证明x-xo (x- xo)n = 0。记Rn(x)=f(x)一Pn(x)，则仅需证明lim由于 P(k (xo) = f(k)(xo) (k = 0, 1, .., n),所以, Rn(xo) = Rn(xo) = ...= R(n)(xo) = 0。又因为 R(k)(x) (k = 0, 1,…,n - 1) 在 xo 处连续,Rn(x)Rln-1)(x)Rn(x)所以，limlim= lim/x-xo n(x-xo)n-ix-xo (x-xo)nx=xo n!(x- xo)R(n-1)(x)-R(n-1)(xo) _ R(n)(xo)=0。= limn!n!(x- xo)x-→xo10
10 泰勒公式 定理证明 记 �� � = � � − �� � ，则仅需证明 𝐥� �→�� �� � �− �� � = �。 所以，𝐥� �→�� �� � �− �� � = 𝐥� �→�� �� ′ � � �− �� �−� 由于 �� � �� = � � �� � = �, �, ⋯, � ， 所以，�� �� = �� ′ �� = ⋯ = �� � �� = �。 又因为 �� � � � = �, �, ⋯, � − � 在 �� 处连续， = ⋯ = 𝐥� �→�� �� �−� � �! �− �� = 𝐥� �→�� �� �−� � −�� �−� �� �! �− �� = �� � �� �! = �
泰勒公式注满足f(x) 一Pn(x) = o((x 一xo)n) 的 n次多项式Pn(x) 是唯一的。证设Qn(x)=bo+bi(x-xo)+.+bn(x-xo)n,且f(x) - Qn(x) = o((x- xo)n),则 Pn(x) - Qn(x) = o((x 一 xo)n),即 (ao - bo) + (a1 -b1)(x - xo) + ... + (an - bn)(x - xo)n = o((x - xo)n),令x→xo，可得ao=bo,于是, (a1 - bi) + ... + (an - bn)(x - xo)n-1 = o(x - xo)n-1);再令x→xo，又有a1=b1，....继续，直至得到an=bn11
11 泰勒公式 注 满足 � � − �� � = � � − �� � 的 � 次多项式 �� � 是唯一的。 证 设 �� � = �� + �� � − �� + ⋯ + �� � − �� � ， 且 � � − �� � = � � − �� � ， 则 �� � − �� � = � � − �� � ， 即 �� − �� + �� − �� � − �� + ⋯ + �� − �� � − �� � = � � − �� � ， 令 � → ��，可得 �� = ��， 于是， �� − �� + ⋯ + �� − �� � − �� �−� = � � − �� �−� ， 再令 � → ��，又有 �� = ��，. 继续，直至得到 �� = ��
泰勒公式定理（泰勒定理2）设函数f(x)在含xo 的开区间 (a,b) 内有 n+1 阶导数,则在(a,b) 上,f"(xo)f(x) = f(xo) + I(xo)(x - xo)2 + .. +2fatb (x - xo)n+1,f(n)(xo) (- xo)nn!(n+1)!f(k) (xo) - xo) + f(n+1)(2)亦为 f(x) =ZK=0on+ix- xoVk!(n+1)!其中，介于x与xo之间。此公式称为带拉格朗日余项的n阶泰勒公式。12
12 泰勒公式 定理（泰勒定理 2） 设函数 � � 在含 �� 的开区间 �, � 内有 � + � 阶导数， � � = � �� + � ′ �� �! � − �� + � ′′ �� �! � − �� � + ⋯ + + � � �� �! � − �� � + � �+� � �+� ! � − �� �+� ， 亦为 � � = �=� � � � �� �! � − �� � + � �+� � �+� ! � − �� �+� ， 则在 �, � 上， 其中，� 介于 � 与 �� 之间。 此公式称为带拉格朗日余项的 � 阶泰勒公式
泰勒公式TE注比较两个泰勒定理，对带n阶泰勒公式，带佩亚诺余项的展开，需要f(x)在xo的邻域中有n一1阶导，且在xo处有n阶导，带拉格朗日余项的展开，需要f(x)在xo的邻域中有n+1阶导。但带拉格朗日余项的展开，对余项有定量的分析。对函数本身进行近似拟合时，通常采用带佩亚诺余项的泰勒展开，而对近似函数的误差进行估计时，则通常采用带拉格朗日余项的泰勒展开。13
13 泰勒公式 注 比较两个泰勒定理，对带� 阶泰勒公式， 带佩亚诺余项的展开，需要 � � 在 �� 的邻域中有 � − � 阶导， 且在 �� 处有 � 阶导， 带拉格朗日余项的展开，需要 � � 在 �� 的邻域中有 � + � 阶导。 但带拉格朗日余项的展开，对余项有定量的分析。 对函数本身进行近似拟合时，通常采用带佩亚诺余项的泰勒展开， 而对近似函数的误差进行估计时， 则通常采用带拉格朗日余项的泰勒展开
泰勒公式mf(n+1)()(x - xo)n+1记 Rn(x) =f(x)- Pn(x), 要证 Rn(x) =定理证明(n+1)!有 Rn(xo) = Rh(xo) =... = R(n)(xo) = 0, 且 R(n+1)(x) = f(n+1)(x)。Rn(51)Rn(x)Rn(x)-Rn(xo)(n+1)(1- xo)n(51 介于 xo, x 之间)(x-xo)n+1-(xo -xo)n+(x- xo)n+i =Rn(51)-Rn(xo)Rn(52)(n+1)[(51-x0)"-(x0 -x0) (n+1)n(2-xo)n-1(52 介于 xo, 1之间)R(n(En)(n+1)(En- xo) (5n 介于 xo,5n-1之间)Ra+) (?)R(n)(3n)-R(n) (xo)（介于xo,5n之间）(n+1)!(n+1)![(5n - xo) - (xo - xo))f(n+1)()(5介于xo,x之间)。(n+1)!14
14 泰勒公式 定理证明 记 �� � = � � − �� � ，要证 �� � = � �+� � �+� ! � − �� �+� 。 �� � �− �� �+1 = �� � −�� �� �− �� �+1− �� − �� �+1 有 �� �� = �� ′ �� = ⋯ = �� � �� = �，且 �� �+1 � = � �+� � 。 = �� ′ �� �+� �� − �� � ( �� 介于 ��, � 之间 ) = �� ′ �� −�� ′ �� �+� �� − �� � − �� − �� � = �� ′′ �� �+� � �� − �� �−� ( �� 介于 ��, �� 之间 ) = ⋯ = �� � �� �+� ! �� − �� ( �� 介于 ��, ��−�之间 ) = �� � �� −�� � �� �+� ! �� − �� − �� − �� = �� �+� � �+� ! ( �介于 ��, �� 之间 ) = � �+� � �+� ! ( �介于 ��, � 之间 )