证明(1) y=o,(x) d 若区域D既是X一型x=(y) 又是Y一型,即平行于 坐标轴的直线和L至 x=v2() 多交于两点 y=p(x) X aa b D={(x,y)q1(x)≤y≤q2(x),a≤x≤b} D=l(, y,(ysxsy2(v),csysdy
{( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b 证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y
dxdy=.dy v2(v)ao dx v,(v)ax revi(), ydy-Ce(i(n),y)dy ScB O(x, y)dy-JcE O(x, y)dy d Y1 CR O(x, y)dy+e(x,y)dy x=v2(y) h. 2(x, y)dy P 同理可证 dxdy= P(x, y)dx D
dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q ( x, y )dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x od ( ) 2 x = y D c CE ( ) 1 x = y
两式相加得「(4+ 证明(2) D 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是X一型又是L Y-型的区域D1,D2,D3 00 aP 00 aP )dxdy )dxd ax a D1+D2+D ax a
若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ
00- OP 00 OP )dxdy+ )dxdy+ ox d ax ay ax a 5Px+Q+5.Px+Q小+,Px+Q S, Pdx+Ody D2 L2 (L1L2,L3对D来说为正方向)h
− + − + − 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向
证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成添加直线段AB1CE 则D的边界曲线由ABL2,BA AFC, CE, L3BC及C构成(。 由(知j(-0) 了AO ax =++[+』+t(Pac+gy) =(2+5,+.(Pc+小y)=P2+g
G D L 3 L 2 F C E L1 A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则D的边界曲线由AB,L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成. 由(2) 知 − D dxdy yP xQ ( ) = + + + + AB L 2 BA AFC CE { + + + + L EC CGA} (Pdx Qdy) 3 = + + + 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy = + L Pdx Qdy