定理3若 lim g(x)=uo，函数 f(u)在点u,连续则有lim fIg(x)l = f(uo) = [ lim g(x)lxxo例求 lim sing(x)14x-→00x解 由 limg(x)= lime，sinu在u=e连续→Xx8所以 lim sin1+x-→0X= sine
6 意义 lim 与f 例 解 可交换次序; x x x + → 1 求 lim sin 1 由 = → lim g(x) x sinu 所以 = + → x x x 1 lim sin 1 在u = e连 续, sin + → x x x 1 lim 1 2. 变量代换 u = g( x) 的理论依据. g(x) x x x + → 1 lim 1 = e, x→ sin lim x x x + → 1 lim sin 1 1. 在定理的条件下, 定理3 lim ( ) , 0 0 g x u x x = → 若 ( ) , 函数 f u 在点u0 连续 lim [ ( )] 0 f g x x→x 则有 ( ) u0 = f = f [ ( )]. lim 0 g x x→x = sine
In(1 + x)例 求 limx-→0xIn(1 + x)解 这里In(1+x)*在x=0不连续，x1但lim(1+x)x =e，Inu在u=e连续所以x-01In(1 + x)lim= lim ln(1 + x)* = In[ lim(1 + x)*]x-→0xx-→0x-0= Ine = 1.定理3 若 lim g(x)=uo，函数f(u)在点u,连续x-→xo则有lim fIg(x)l = f(uo) = f[ lim g(x) lx-→xox-→xo
7 例 . ln( 1 ) lim0 x x x + → 求 = 1 . x x x 1 0 lim ( 1 + ) → = ln e 解 x ln( 1 + x ) 这里 x x 1 = ln( 1 + ) 在 x = 0 不连续 , 但 lim ( 1 ) , 1 0 x e x x + = → ln u 在 u = e连续, 所以 x x x ln( 1 ) lim0 + → x x x 1 0 = lim ln( 1 + ) → = ln[ ] 定理 3 lim ( ) , 0 0 g x u x x = → 若 ( ) , 函数 f u 在点u0 连续 lim [ ( )] 0 f g x x→x 则有 ( ) u 0 = f = f [ ( )]. lim0 g x x→x