x2 + y2+z2-2x+2y-4z-10 = 0故 AC-B2(z ± 2)A=2-z(2 - z)B=Ip= 0函数在P有极值。将P(1,-1)代入原方程,有 z, = -2,zz = 6V当 z, = -2时,A=所以 z= f(1,-1)= -2为极小值;当 z, = 6时, A=-}<0,4所以 z = f(1,-1)=6为极大值
故 2 2 (2 ) 1 z AC B − − = (z 2) 函数在P有极值. 0 2 2 4 10 0 2 2 2 x + y + z − x + y − z − = 将P(1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2,z2 = 6 2 , 当z1 = − 时 4 1 A = 0, z = f (1,−1) = −2 为极小值; 6 , 当z2 = 时 4 1 A = − 0, z = f (1,−1) = 6 为极大值. z A zxx P − = = 2 1 | B = z xy |P = 0 所以 所以 z C z yy P − = = 2 1 |
练求由方程x2+y2+z22x+2y-4z-10=0确定的函数z= f(x,y)的极值配方法解 法二方程可变形为(x -1)2 +(y+1)2 +(z-2)2 = 16X于是z-2=±/16-(x-1)-(y+1)显然,当x=1,y=-1时,根号中的极大值为4，由※可知,z=2±4为极值即z=6为极大值，z=-2为极小值
求由方程 2 2 4 10 0 2 2 2 x + y + z − x + y − z − = 确定的函数z = f (x, y)的极值. 解 法二 配方法 方程可变形为 ( 1) ( 1) ( 2) 16 2 2 2 x − + y + + z − = 于是 2 2 z − 2 = 16 − (x −1) − ( y + 1) 显然, 当x = 1, y = −1时, 根号中的极大值为4, ※ 由※可知, z = 2 4 为极值. 即 z = 6 为极大值, z = −2 为极小值
注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处取得然而,如函数在个别点处的偏导数不存在这些点当然不是驻点，但也可能是极值点如：函数z=一×2+2在点(0,0)处的偏导数不存在，但函数在点(0,0)处都具有极大值，在研究函数的极值时，除研究函数的驻点外还应研究偏导数不存在的点
取得 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在, 这些点当然不是驻点, 如: 函数 2 2 z = − x + y 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点. 注 由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处 但也可能是极值点. 在点(0,0)处的偏导数
选择题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续f(x,y)-xy=1, 则且lim(x* + y")x-0J-→0(A）点(O,0)不是f(x,y)的极值点(B) 点(0,0)是f(x,J)的极大值点,(C) 点(O,0)是f(x,y)的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(O,O)是否为f(x,y)的极值点
选择题 已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续, 1, ( ) ( , ) lim 2 2 2 0 0 = + − → → x y f x y xy y x 且 则 (A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点
4.多元函数的最值与一元函数相类似，可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值求最值的一般方法将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较其中最大者即为最大值,最小者即为最小值
其中最大者即为最大值, 与一元函数相类似,可利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法 最小者即为最小值. 将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 4.多元函数的最值