推广 如果三元函数u= f(x,y,z)在点P(xo,Jo,z)具有偏导数,则它在P(xoyo,zo)有极值的必要条件为f,(xo, Jo,zo) = 0,fx(xo, yo,zo) = 0,f.(xo,Yo,zo) = 0.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点，注驻点极值点I如,点(0,0)是函数z =xy的驻点，但不是极值点如何判定一个驻点是否为极值点
推广 如果三元函数 ( , , ) ( , , ) 0 0 0 u = f x y z 在点P x y z 具有偏导数,则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条件 为 ( , , ) 0, f x x0 y0 z0 = ( , , ) 0, f y x0 y0 z0 = ( , , ) 0. f z x0 y0 z0 = 均称为函数的 驻点 极值点 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的 点, 驻点. 如何判定一个驻点是否为极值点 如, 点(0,0)是函数z = xy的 驻点, 但不是极值点. 注
3.极值的充分条件定理2(充分条件）设函数z=f(x,J)在点(xo,Jo)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数又 f,(xo,yo)= 0, f,(xo,yo)= 0,令 fx(xo,yo)= A, Jx,(Xo,Jo)= B, fm,(Xo,yo) = C,则f(x,y)在点(xo,Jo)处是否取得极值的条件如下:(1）AC-B2>0时有极值,当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2) AC －B2<0时没有极值;(3)AC-B2=0时可能有极值,也可能无极值
定理2(充分条件) ( , ) ( , ) 0 0 设函数z = f x y 在点 x y 的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数, ( , ) 0, 又 f x x0 y0 = ( , ) 0, f y x0 y0 = ( , ) , 令 f xx x0 y0 = A ( , ) , f xy (x0 , y0 ) = B, f yy x0 y0 = C ( , ) ( , ) 0 0 则f x y 在点 x y 处是否取得极值的条件如下: (1) AC − B 2 0时 有极值, 当A 0时 有极大值, 当A 0时 有极小值; (2) AC − B 2 0时 没有极值; (3) AC − B 2 = 0时 可能有极值,也可能无极值. 3.极值的充分条件
求函数z=f(x,y)极值的一般步骤第一步fr(x,y)=0解方程组f,(x,y)= 0求出实数解，得驻点第二步 对于每一个驻点(xo,Jo),求出二阶偏导数的值A、B、C第三步定出AC－B的符号再判定是否是极值
求函数 z = f (x, y) 极值的一般步骤: 第一步 解方程组 = = ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f x y y x 求出实数解,得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( , ), 0 0 x y 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号, 再判定是否是极值
例1 求函数f(x,y)=3axy-x3-y (a>0)的极值。, = 3ay - 3x2 = 0一 驻点(0,0),(a,a)解, = 3ax -3y? = 0又 fxx =-6x, Jx,= 3a,y, =-6y.在点(0,0)处,AC-B2 =-9αa2 <0故f(x,J)在(0,0)无极值;在点(a,a)处,AC-B2=27α2 0<且A=-6a<0故f(x,J)在(a,a)有极大值,即 f(a,a)=a3
例1 解 又 在点(0,0)处, 在点(a,a)处, ( , ) 3 ( 0) 3 3 求函数 f x y = axy − x − y a = − = = − = 3 3 0 3 3 0 2 2 f ax y f ay x y x 驻点(0,0),(a,a). f xx = f xy = f yy = 2 2 AC − B = −9a 故 f ( x, y) 2 2 AC − B = 27a 且A = −6a 故 f ( x, y) 即 ( , ) . 3 f a a = a 的极值. 0 在(0,0)无极值; 0 在(a,a)有极大值, 0 − 6x, 3a, − 6 y
然子求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值解 法一 将方程两边分别对x,y求偏导数2x+2zz-2-4z=02y+2z·z, +2-4z, = 0由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1)将上方程组再分别对x,y求偏导数B=z"lp=0, C=z'2-z
2 + 2 − 2 − 4 = 0 x x x z z z 解 求由方程 2 2 4 10 0 2 2 2 x + y + z − x + y − z − = 确定的函数z = f (x, y)的极值. 将方程两边分别对x, y求偏导数, 2 y + 2zz y + 2 − 4z y = 0 由函数取极值的必要条件知,驻点为 P(1,−1), 将上方程组再分别对x, y求偏导数, , 2 1 | z A z xx P − = = = | = 0, xy P B z , 2 1 | z C z yy P − = = 法一