等比数列的前n项和
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等差数列 等比数列 定义 n+1 n+1 通项公式an=a1+(m-1)d 1-1 an=aq a,=am+(n-md n- n 性质 m+n=r+s(m,n,r,S∈N) a ta =a +a nn H(a1+ S 2 nn S =n1 d n 2
等差数列 等比数列 定义 通项公式 性质 Sn 1 ( 1) n a a n d = + − 1 1 n- n a a q = n n 1 a a d + − = n 1 n a q a + = ( ) n m a a n m d = + − n m n m a a q − = * m n r s m n r s N + = + ( , , , ) m n r s a a a a + = + m n r s a a a a = 1 ( ) 2 n n n a a S + = 1 ( 1) 2 n n n S na d − = +
思考1:等比数列{an}中,q2,a2+a3+a4+a5+a6=10, atatatata 50 思考2:记S=a1+a2+a3+a4+a5,能用a1和a表示S吗? ∴S5=a1+a2+m3+a4+as 2S5=a2+a3+a4+a+ S=2S-S=a6-a1=a1(q-1) 探究:已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q 如何确定等比数列的前n项和S,?
思考1：等比数列{an }中，q=2，a2+a3+a4+a5+a6 =100， 则a1+a2+a3+a4+a5=_________ 50 ； 探究：已知等比数列{an }的首项为a1，公比为q， 如何确定等比数列的前n项和Sn？ 思考2：记S5=a1+a2+a3+a4+a5，能用a1和a6表示S5吗？ 5 1 2 3 4 5 5 2 3 4 5 6 2 S a a a a a S a a a a a = + + + + = + + + + 5 5 5 6 1 = − = − S S S a a 2 5 1 = − a q( 1)
等比数列的前n项和 设等比数列a1,a2,a3?…,an 它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an 即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q"2+a1q"-1……(1 (1)×q,得T Sn=aq+a1q2+…+a1q"2+a1q+a1gn…(2) (1)-(2)得(1-q)Sn=a1-a1q", q 由此得q≠l时,Sn= q错位相减法 显然,当q=时,Sn=na1
n qS = 2 2 1 1 1 1 1 1 (2) n n n a q a q a q a q a q − − + + + + + ( ) 1 1 (1) (2) 1 , n n − − = − 得 q S a a q 1 (1 ) 1 1 n n a q q S q − = − 由此得 时， S a a a a n n = + + + + 1 2 3 设等比数列 1 2 3 , , , , , n a a a a 它的前n项和是 2 2 1 1 1 1 1 1 (1) n n S a a q a q a q a q n − − 即 = + + + + + 1 1 n 显然，当q S na = = 时， (1)q，得 等比数列的前n项和 错位相减法