解:这里M(x,y)=e+y,N(x,y)=x-2siny 所以 aM(,y ON(x,y) 故所给方程是恰当方程. 由于所求函数(x,y)满足 e t y x-2 S OX 由偏导数的定义只要将y看作常数将ex+y对x积分得 u(x, y)=(e+y)dx+p(y)=e+yx+o(y)
解: ( , ) , ( , ) 2sin . x 这里M x y e y N x y x y = + = − ( , ) 1 M x y y = 所以 故所给方程是恰当方程. 由于所求函数u(x, y)满足 e y, x u x = + x 2sin y, y u = − 由偏导数的定义,只要将y看作常数,将e x + y对x积分得 u(x, y) = (e + y)dx + ( y) x e yx (y). x = + + , ( , ) x N x y =
u(x,y)=e+yx+o(y) 对(x,y)关于y求偏导数,得(y)应满足的方程为 x+a() =x-2sin y doly 2Sin y 积分后得:(y)=2cosy 故(x,y)=e+x+2cosy. 从而方程的通解为 e+yx+2 cosy=c
u(x, y) e yx (y). x = + + 对u(x, y)关于y求偏导数,得(y)应满足的方程为 x y dy d y x 2sin ( ) + = − 即 y dy d y 2sin ( ) = − 积分后得: ( y) = 2cos y, 故 u(x, y) e yx 2cos y. x = + + 从而方程的通解为 e yx 2cos y c. x + + =
2分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的 项分出来,再把余的项凑成全微分 应熟记一些简单二元函数的全微分 如 ydx+xdy=d(xy) dx-xdy X d( ydx+xdy diy d()
2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的 项分出来,再把余的项凑成全微分. ---应熟记一些简单二元函数的全微分. 如 ydx + xdy = = − 2 y ydx xdy = − + 2 x ydx xdy d(xy), ( ), y x d ( ), x y d
dx-xd d(n var-x d(arctan x-+ ydx=xdy 1 xty
= + − 2 2 x y ydx xdy = − x y ydx xdy = − − 2 2 x y ydx xdy (ln | |), y x d (arctan ), y x d (ln ). 2 1 x y x y d + −