证明“必要性设1)是恰当方程,则有函数v(x,y)使得 ou du(, y)=dx+dy =M(x, y)dx+N(x, y)dj oX 故有 M(x v ou=N(x,y) ax oM au an au 从而 ay aya au 由于和 都是连续的,从而有 ayax axd VoX Oxo 故 OM(,y) aN(,y ax
证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y),使得 dy y u dx x u du x y + ( , ) = = M (x, y)dx + N(x, y)dy 故有 M (x, y), x u = N(x, y) y u = 从而 2 , M u y y x = 2 . N u x x y = 由于 和 都是连续的,从而有 2 2 x y u y x u , 2 2 x y u y x u = 故 . ( , ) ( , ) x N x y y M x y =
“充分性”若 OM(x,y)ON(,y) 则需构造函数(x,y),满足 du(,y)=M(x, y)dx+N(x, y)dy, (4) 即应满足Ou≥M(x,y),(5) N(x,y),(6) 从5)出发把看作参数解这个方程得 ux ,y)=M(x, y)dx+(y)
“充分性” ， x N x y y M x y = ( , ) ( , ) 若 从(5)出发,把y看作参数,解这个方程得 则需构造函数u(x, y),满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy, (4) 即应满足 M (x, y), (5) x u = N(x, y), (6) y u = u(x, y) = M (x, y)dx +( y)
u(x,y)=M(, y )dx+p(v). Ou N(x,y)(6) 这里(y)是y的任意可微函数 下面选择(y),使u同时满足(6),即 0=,M(x,y约() (y) 因此 =M 「M(x,y)dx(7) 下面证明(7)的右端与x无关,即对x的偏导数常等于零 事实上[N-|M(x,y)d] Ox aN aa OxOx Oy ∫M(xykl
这里(y)是y的任意可微函数, = y u 因此 = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 下面证明(7)的右端与x无关, 即对x的偏导数常等于零 事实上 [ ( , ) ] − M x y dx y N x [ ( , ) ] − = M x y dx x x y N N(x, y), (6) y u = 下面选择(y),使u同时满足(6),即 + dy d y M x y dx y ( ) ( , ) = N u(x, y) = M (x, y)dx +( y)
an a a aN aM M(, y)] ≡0. ax Oy Ox ax a 于是,()右端的确只含有y,积分之得 ∫【N-。JM(xy)dk 0(y)=[ 故 do(y) N M(x,y)ax(⑦) ( x,y)=M(x, ydx M(x, y)dx ]ay, ( 8) 即(x,y)存在从而(1)为恰当方程 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 ∫M∥(x,y)∫N 「M(xy)y=c,c为任常数
[ ( , ) ] − = M x y dx x y x N y M x N − = 0. 于是,(7)右端的确只含有y,积分之得 ( ) [ M (x, y)dx]dy, y y N = − 故 u(x, y) = M (x, y)dx [ M (x, y)dx]dy, y N + − (8) 即u(x, y)存在,从而(1)为恰当方程。 = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 M x y dx dy c c为任常数 y M (x, y)dx [N ( , ) ] = , + −
恰当方程的求解 1不定积分法 判断M(x,y)x+N(x,y)=0是否为恰当方程 若是进入下一步 20求v(x,y)=「M(x,y)x+9(y) 3由 0=N(x, ply) 例1验证方程 (e +y)dx+(-2sin y)dy=0 是恰当方程,并求它的通解
二、恰当方程的求解 1 不定积分法 . 1 ( , ) ( , ) 0 , 0 若是进入下一步 判断M x y dx + N x y dy = 是否为恰当方程 2 u(x, y) = M (x, y)dx + ( y)， 0 求 3 ( , ) ( ). 0 N x y y y u 由 = 求 例1 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程,并求它的通解