几种特殊类型函教的积分 、有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之 P(x)aox"+ax"+.+anx+a e(x)box"+b,"+.+ bm-x+ b 其中m、n都是非负整数;a,a1,…,an及 b,b1,…,bn都是实数,并且a0≠0,b0≠0
几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数； n a ,a , ,a 0 1 及 m b ,b , ,b 0 1 都是实数，并且 0 a0 ， 0 b0
假定分子与分母之间没有公因式 (1)n<m,这有理函数是真分式; (2)n≥m,这有理函数是假分式; 利用多项式除法,假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和 x3+x+1 例 X十 x2+1 难点将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 A1 A x-a)(x-)k1+…+k 十 其中A1,A2,…,A4都是常数 特殊地:k=1,分解后为; -a
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
注关于部分分式分解 如对 进行分解时 X-a 十 x-a (x-a){+…+4k x-l 项也不能少,因为通分后分子上是x的(k-1)次 多项式,可得到k个方程,定出k个系数,否则将 会得到矛盾的结果。 例如 AB C 十 x2(x+1)x'x2x+1
注 关于部分分式分解 如对 k (x a) 1 − 进行分解时 = − k (x a) 1 , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 一项也不能少，因为通分后分子上是 x的(k − 1)次 多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将 会得到矛盾的结果。 例如 ( 1) 1 1 2 2 + = + + + x C x B x A x x
→Ax(x+1)+B(x+1)+Cx2=1 A+C=0 →〈A+B=0→{B=1 B=1 C A B 但若2 x2(x+1)x2x+1 →A(x+1)+Bx2=1 →A=0,=1矛盾
( 1) ( 1) 1 2 Ax x + + B x + + Cx = = + = + = 1 00 BA B A C === − 111 CBA 但若 ( 1) 1 1 2 2 + = + + x B xA x x( 1) 1 2 A x + + Bx = A = 0,A = 1 矛盾