无穷区间上的积分有三种形式:「f(x)dx,∫f(x)dx和」f(x)dx, 由于形式上有 X=-1 及 ∫f(x)dx=丁f(xdx+」f(xdx, 因此下面的讨论仅就∫。f(x形式来展开。 注意:只有当。f(xx和fx)x都收敛时,才认为」f(x)dx是 收敛的
无穷区间上的积分有三种形式： ( )d a f x x +∞ ∫ ， ( )d a f x x ∫−∞ 和 f ( )d x x +∞ ∫−∞ ， 由于形式上有 ( )d a fx x ∫−∞ −= tx = ( )d a f tt − +∞ − − ∫ ( )d a f tt +∞ − = − ∫ 及 f ( )d x x +∞ ∫−∞ ( )d a f x x +∞ = + ∫ ( )d a f x x ∫−∞ ， 因此下面的讨论仅就 ( )d a f x x +∞ ∫ 形式来展开。 注意：只有当 ( )d a f x x +∞ ∫ 和 ( )d a f x x ∫−∞ 都收敛时，才认为 f ( )d x x +∞ ∫−∞ 是 收敛的
定义8.1.1设函数f(x)在[a+∞)有定义,且在任意有限区间 a,c[a,+∞)上可积,若极限 f(x)dx A→+00Ja 存在,则称反常积分∫。f(x)收敛(或称f(x)在+)上可积),其 积分值为 ∫。(x)dx=m/(xu; 否则称反常积分∫f(x)发散。 对反常积分∫“f(x)x与二(x可类似地给出敛散性定义
定义 8.1.1 设函数 f x( )在[, ) a +∞ 有定义，且在任意有限区间 [, ] a A ⊂ +∞ [, ) a 上可积，若极限 A +∞→ lim ( )d A a f x x ∫ 存在，则称反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛（或称 xf )( 在 a +∞),[ 上可积），其 积分值为 ( )d a f x x +∞ ∫ +∞→ = Alim ( )d Aa f x x ∫ ； 否则称反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 发散。 对反常积分 ( )d a f x x ∫−∞ 与 f ( )d x x +∞ ∫−∞ 可类似地给出敛散性定义
设f(x)在[a+∞)连续,F(x)是它在[a,+∞)上的一个原函数,由 Newton- Leibniz公式, ∫。f(xdx=-imJ。/(x=mnFx=1mnF(4)-F(a), 因此反常积分∫。f(x)x的敛散性等价 于函数极限imF(A)的敛散性。当函数 y=f() f(x)≥0时,反常积分(x)收敛表 示由曲线y=f(x),直线x=a和x轴所 界定区域的面积(图8.1.2)是个有限 值 图8.1.2
设 f x( )在[, ) a +∞ 连续， F x( )是它在[, ) a +∞ 上的一个原函数，由 Newton-Leibniz 公式， ( )d a f x x +∞ ∫ +∞→ = Alim ( )d Aa f x x ∫ +∞→ = Alim Aa xF )( +∞→ = Alim − aFAF )]()([ ， 因此反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 的敛散性等价 于函数极限 AF )(limA +∞→ 的敛散性。当函数 f x( ) ≥ 0时，反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛表 示由曲线 = xfy )( ，直线x a = 和x 轴所 界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限 值
例812讨论∫d的敛散性(p∈R) 解当p≠1时, +∞ P P =im A→+0 P A→+0 P p=1时, dx= lim In x.= lim In A=+oo A→)+00 A→+∞ 因此,当P>1时,反常积分∫14收敛于n;当≤1时,反 常积分4x发散
例 8.1.2 讨论 1 1 d p x x +∞ ∫ 的敛散性（ p ∈ R ）。 解 当 p ≠ 1时， 1 1 d p x x +∞ ∫ A p A p x 1 1 1 lim − = +− +∞→ p A p A − − = − +∞→ 1 1 lim 1 ⎩ ⎨ ⎧ <∞+ > = − .1, ,1, 1 1 p p p 当 p = 1时， 1 1 dx x +∞ ∫ A A x 1 lnlim+∞→ = A A lnlim +∞→ = = + ∞。 因此，当 p > 1时，反常积分 1 1 d p x x +∞ ∫ 收敛于 1 p − 1；当 p ≤ 1时，反 常积分 1 1 d p x x +∞ ∫ 发散
为了简便,通常我们仿照正常积分的 Newton- Leibniz公式的表达 形式,将反常积分形式地写成 ∫f(x)dx=F(x) 其中F(+∞)理解为极限值iF(x)
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达 形式，将反常积分形式地写成 ( )d a f x x +∞ ∫ ∞+ = a xF )( ， 其中 F + ∞)( 理解为极限值 xF )(limx +∞→