《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十章（10.2）一致收敛级数的判别与性质

§2一致收敛级数的判别与性质 致收敛的判别 定理10.2.1(函数项级数一致收敛的 Cauchy收敛原理)函数 项级数∑un(x)在D上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的 E>0,存在正整数N=N(E),使 un(x)+un(x)+.+um(x)I<a 对一切正整数m>n>N与一切x∈D成立

一致收敛的判别 定理 10.2.1（函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理） 函数 项级数  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的   0，存在正整数 N = N( )，使 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│  对一切正整数 m  n N 与一切 xD 成立。 §2 一致收敛级数的判别与性质

证必要性。设∑1(x)在D上一致收敛,记和函数为S(x),则 对任意给定的E>0,存在正整数N=N(),使得对一切n>N与一切 x∈D,成立 ∑v(x)-S(x) k=1 于是对一切m>n>N与一切x∈D,成立 1an(x)+un2(x)+…+1m(x)|=∑n(x)-∑ S(x)+∑4(x)-S(x)<

证 必要性。设   =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则 对任意给定的   0，存在正整数 N = N( )  ， 使得对一切 n N 与一切 xD，成立 ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  2  。 于是对一切 m  n N 与一切 xD，成立 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│=  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )   − + = ( ) ( ) 1 u x S x m k k ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  

充分性。设任意给定的E>0,存在正整数N=NE),使得对一切 m>n>N与一切x∈D,成立 1un()+n()++()=)-(x) 固定x∈D,则数项级数∑un(x)满足 Cauchy I收敛原理,因而收敛。设 Sx)=∑ x∈D 在∑1(x)-∑(x<中固定n,令m→O,则得到 u, (x E 对一切xeD成立,因而∑un(x)在D上一致收敛于S(x)

充分性。设任意给定的  0，存在正整数 N = N( )，使得对一切 m n N 与一切 xD，成立 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│=  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )  2  固定 xD，则数项级数  =1 ( ) n n u x 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 S(x) =  =1 ( ) n n u x ， xD， 在  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )  2  中固定 n， 令m→，则得到 ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  2    对一切 xD 成立，因而  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛于 S(x)

函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是 VE>0,彐N,Vm>n>N,Vx∈D I Sm(x)-Sn(x)I<E

函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn (x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是：   0， N，m  n N，xD ： │Sm(x) - Sn (x)│ 

函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是 VE>0,彐N,m>n>N,Vx∈D I Sm(x)-Sn(x)I<E 定理10.22( Weierstrass判别法)设函数项级数∑u(x)(x∈D) 的每一项ln(x)满足 ln(x)|≤an,xeD, 并且数项级数∑a收敛,则∑un(x)在D上一致收敛

定理 10.2.2 (Weierstrass 判别法) 设函数项级数   =1 ( ) n n u x （x D） 的每一项 un (x)满足 │un (x)│ an， xD ， 并且数项级数  n=1 an 收敛，则  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛。 函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn (x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是：   0， N，m  n N，xD ： │Sm(x) - Sn (x)│ 