§4函数的幂级数展开 Taylor级数与余项公式 假设函数f(x)在x的某个邻域O(x0,r)可表示成幂级数 f(x)=∑an(x-x0)y,x∈O(x,n), 即∑a(x-x)在O(x,)上的和函数为f(x)。根据幂级数的逐项可导 性,f(x)必定在O(x,r)上任意阶可导,且对一切k∈N, f((x)=∑m(n-1)…(n-k+1)a1(x-x)
Taylor 级数与余项公式 假设函数 f (x)在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)可表示成幂级数 f (x) = = − 0 0 ( ) n n n a x x ，xO( 0 x , r)， 即 = − 0 0 ( ) n n n a x x 在 O( 0 x , r)上的和函数为 f (x)。根据幂级数的逐项可导 性， f (x)必定在 O( 0 x , r)上任意阶可导，且对一切k + N ， ( ) = ( ) f x k = − − − + − n k n k n n(n 1) (n k 1)a (x x ) 0 。 §4 函数的幂级数展开
令x=xn,得到 k=0.1,2.…, k 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 xn的 Taylor系数
令 0 x = x ，得到 ak = ! ( ) 0 ( ) k f x k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛an ｝由和函数 f (x)唯一确定，我们称它们为 f (x) 在 0 x 的 Taylor 系数
令x=xn,得到 k=0.1.2 k 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 x的 Taylor系数 反过来,设函数f(x)在x的某个邻域O(x,r)上任意阶可导,则 (n) 可以求出它在x的 Taylor系数an 0)(n=0.1,2…),并作出幂级 数 (n) -(X-X 这一幂级数称为f(x)在x的 Taylor级数
反过来，设函数 f (x) 在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 可以求出它在 0 x 的 Taylor 系数 an = ! ( ) 0 ( ) n f x n （ n = 0,1,2, ），并作出幂级 数 = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x , 这一幂级数称为 f (x)在 0 x 的 Taylor 级数。 令 0 x = x ，得到 ak = ! ( ) 0 ( ) k f x k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛an ｝由和函数 f (x)唯一确定，我们称它们为 f (x) 在 0 x 的 Taylor 系数
问题:是否一定存在常数p(0<),使得∑“(5)(x-xy在 O(xn,p)上收敛于f(x)? 下面的例子告诉我们,答案并不是肯定的 例10.4.1设 f(x) x≠0 0.x=0. 当x≠0时, 46 f(x) e 其中P()是关于u的n次多项式
问题：是否一定存在常数（0 r ），使得 = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 在 0 O x( , ) 上收敛于 f (x) ? 下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。 例 10.4.1 设 f (x) = = − 0, 0, e , 0, 2 1 x x x 当 x≠0 时， f (x) = 2 1 3 e 2 x x − ， f (x) = 2 1 6 4 e 4 6 x x x − − ， …… ( ) = ( ) f x k 2 1 3 e 1 x k x P − ，…… 其中 P (u) n 是关于 u 的 n 次多项式
由此可以依次得到 f(0)=m2(x)-f(0=me 0 f"(O) f'(x)-f'(0) e f(-)(x)-f-)(0) 0. 因此f(x)在x=0的 Taylor级数为 0 0 0+0x+-x 2! 它在(-∞,+∞)上收敛于和函数S(x)=0。显然,当x≠0时, S(x)≠f(x) 这说明,一个任意阶可导的函数的 Taylor级数并非一定能收敛于 函数本身
由此可以依次得到 f (0) = 0 lim x→ x f (x) − f (0) = 0 lim x→ 2 1 e 1 x x − = 0， f (0) = 0 lim x→ x f (x) − f (0) = 0 lim x→ 2 1 4 e 2 x x − = 0， …… (0) = (k ) f 0 lim x→ x f x f k k ( ) (0) ( −1) ( −1) − = 0 lim x→ 2 1 3 2 e 1 x k x P − − = 0， …… 因此 f (x)在 x = 0 的 Taylor 级数为 + + + ++ x n + n x x x ! 0 3! 0 2! 0 0 0 2 3 ， 它在(−,+) 上收敛于和函数 S(x) = 0。显然，当 x≠0 时， S(x) ≠ f (x)。 这说明，一个任意阶可导的函数的 Taylor 级数并非一定能收敛于 函数本身