§3幂级数 an(x-x0)”=a+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)”+ 这样的函数项级数称为幂级数幂级数的部分和函数S(x)是一个n-1 次多项式。 为了方便,我们通常取x。=0,也就是讨论 a x a+a1x+a2x+.+anx+…, 然后对所得的结果做一个平移x=t-x0,就可以平行推广到x0≠0的情 况
= − 0 0 ( ) n n n a x x = a0 + ( ) 1 0 a x − x 2 2 0 + a (x − x ) ++ n n a (x x ) − 0 + 这样的函数项级数称为幂级数。幂级数的部分和函数 Sn (x)是一个 n −1 次多项式。 为了方便，我们通常取 0 x = 0, 也就是讨论 n=0 n n a x = a0 + a x1 2 2 + a x ++ n n a x +， 然后对所得的结果做一个平移 x = 0 t − x ，就可以平行推广到 x0 0 的情 况。 §3 幂级数
幂级数的收敛半径 对于幂级数∑anx,首先有 lin 根据数项级数的 Cauchy判别法,当上面的极限值小于1时, ∑anx”绝对收敛;当上面的极限值大于1时,∑anx发散 n=0 令 A=lim 定义 +∞,当A=0, R 当A∈(0,+∞), 当A 则我们有
幂级数的收敛半径 对于幂级数 n=0 n n a x ，首先有 n→ lim n n n |a x | = n→ lim n an | | ｜x｜， 根据数项级数的 Cauchy 判别法，当上面的极限值小于 1 时， n=0 n n a x 绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时， n=0 n n a x 发散。 令 A = n→ lim n an | | ， 定义 R = = + + + = , (0, ), 0, 0, , 1 , A A A A 当 当 当 则我们有
定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑anx"当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|x}R时发散。 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断
定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数 n=0 n n a x 当| x | R （R 0）时绝对收敛；当| x | R 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断
定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑anx"当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|x}R时发散。 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断 对于∑an(x-x),则有平行的结论:幂级数在以x0为中心,以R 为半径的对称区间内绝对收敛,而在该区间外发散。在区间的端点x ±R,幂级数的敛散性必须另行判断。 数R称为幂级数的收敛半径。当R=+∞时,幂级数对一切x都是 绝对收敛的;当R=0时,幂级数仅当x=x0时收敛
对于 = − 0 0 ( ) n n n a x x ，则有平行的结论：幂级数在以 0 x 为中心，以 R 为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散。在区间的端点 0 x ±R，幂级数的敛散性必须另行判断。 数 R 称为幂级数的收敛半径。当R = +时，幂级数对一切 x 都是 绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x = 0 x 时收敛。 定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数 n=0 n n a x 当| x | R （R 0）时绝对收敛；当| x | R 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断
例10.31幂级数∑x,∑x,∑mx+1y的收敛半径都是 n=1 n=1 R=1。 ∑x的收敛域是F1,1∑(x=)的收敛域是02];∑nx+1 n=1 的收敛域是(-2,0)
例 10.3.1 幂级数 n=1 n n x ， = − 1 2 ( 1) n n n x ， = + 1 ( 1) n n n x 的收敛半径都是 R = 1。 n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)； = − 1 2 ( 1) n n n x 的收敛域是[0,2]； = + 1 ( 1) n n n x 的收敛域是(-2,0)