例1.y=Vx(x3-4cosx-sinl),求y'及yx1 解：y'=(x)y(x3-4cosx-sinl) +√x(x3-4cosx-sinl) (4cosx-sin1)+Jx(3x+4sinx 1 y x=1 (1-4cos1-sin1)+(3+4sin1) 7 7 sin1-2cos1 2 Oao⊙⊙8
例1. 解: + 4sin x (1 2 1 − sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − y = ( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) u'v-uv 证：设)-得，则有 u(x+h) (x) f'(x)=lim+月）-f0-linm v(x+h) v(x) h-→0 h h-→0 h 4x+D-)vx)-M)x+月- lim h h h-→0 v(x+h)v(x) u(x)v(x)-u(x)v(x) v2(x) 故结论成立 推论： (C)=-cv (C为常数 Ooo⊙⑨8
+ = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h u(x)v(x) (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x = 推论: ( ) 2 v Cv v C − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例2.求证(tanx)=sec2x,(cscx)/=-cscxcotx. 证：((tanx)'= Sinx = (sinx)'cosx-sinx(cosx) cosx cos2 x cos2x+sinx=sec2x COsx n) sin2x sin2x =-cscxcotx 类似可证：(cotx)'=-csc2x,(secx)}=secxtanx
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证: = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cosx 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f-(y)的反函数，f(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]'≠0 f-i 或 f] d x d x d v 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 △y=f(0x+A)-f()≠0， y-1 △x △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 "'(x)=lim AY lim △x-→0△X △y→0 △y [f(y)]' Ooo⊙⊙8 机
f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, = x y y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束