第二为 第三章 洛必达法则 一、 0型未定式 二、∞！ 型未定式 00 三、其他未定式 OaO⊙o8
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章
函数的性态 微分中值定理 1 导数的性态 本节研究： 0 函数之商的极限1im 或”型 g(x) 转化 洛必达法则 导数之商的极限1im f'(x) g'(x) 将达.，4d Qao⊙o&
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
型未定式 0 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x->a x->a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3 lim(x) xa F(x) 存在（或为0） lim f(x) lim f xa F(x) xaF'(x) (洛必达法则) Ooo⊙o8
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理条件：1)limf(x)=limF(x)=0 x→a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim I(x) x-→aF'(x) 存在（或为0）》 证：无妨假设f(a)=F(@)=0,在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),F(x)在以x,a为端点的区间上满足柯 西定理条件，故 f(x)=f)-f(a-f'(5) (5在x,a之间) F(x)F(x)-F(a) F'(5) 1imf-limf' 13) xaF(x) x→aF'(5) xaF'(x) Oooo⊙o8 机
( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = ( ) ( ) lim F f x a = → 3) 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
洛必达法则 lim f(x) li (x) x→aF(x) xaF'(x) 推论1.定理1中x→a换为 x→a,x→a，x→0，X→+0，x→-00 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1imN仍属0型，且f(e,F'()满足定 F'(x) 理1条件，则 lim=lim=lim f"(x) F(x) F'(x) F"(x)
推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束