第三章 微分中值定理 与导数的应用 罗尔中值定理 中值定理 〈拉格朗日中值定理 推扩 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第一节 第三章 中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 OO▣⊙⊙8 机
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理 费马(fermat)引理 y=f(x)在U(xo)有定义， >f'(x)=0 且f(x)≤f(xo),f'(xo)存在 (或≥) 证：设Vxo+△x∈U(xo),f(xo+△x)≤f(xo), f(xo)=lim f(xo+Ar)-f(xo) Xo X Λx→0 △x 「f'(xo)≥0（△x→0） >f'(x)=0 f(xo)≤0（△x→0+） 证毕 Oao⊙@8
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
罗尔(Role)定理 y y=f(x) y=f(x)满足 (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 b x (3)f(a)=f(b) 心在(a,b)内至少存在一点5，使f'()=0. 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'(5)=0. OOo⊙⊙8 机无
罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f () = 0. x y o a b y = f (x) 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. 注意： 1)定理条件条件不全具备，结论不一定成立.例如， 0 f()=x f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1]
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f () = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1 x y −1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束