第五节 第三章 函数的极值与 最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 O9o⊙o☒
二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三章
一、函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，x∈(a,b), 若存在x的一个邻域，在其中当x≠o时， (I)f(x)<f(xo),则称xo为f(x)的六点， 称f(xo)为函数的极大值； (2)f(x)>f(xo),则称x为f(x)的极划点， 称f(xo)为函数的极小值. 极大点与极小点统称为板值幕· Ooo⊙o8
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如(P146例4) y↑ f(x)=2x3-9x2+12x-3 2 x=1为极大点，f(I)=2是极大值 x=2为极小点，f(2)=1是极小值 2 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质， 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 V x1,x4为极大点 x2,x5为极小点 3不是极值点 0☑x1X23x4x5bX
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（极值第一判别法） 设函数f(x)在x的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)f'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)f'(x)“左右正”，则f(x)在x,取极小值； (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 oeo0
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停
例1.求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解)求导数C-+c-小 2)求极值可疑点 令f'(x)=0,得x1=；令f'(x)=0,得x2=0 3)列表判别 (-0,0) 0,) 25 (层，+0) f'(x) 十 00 0 f(x) 0 -0.33 ∴.x=0是极大点其极大值为f(0)=0 x=号是极小点其极小值为f()=-0.33 Q9的oo⑧
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) = , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束