第四节 第四章 有理西数的积分 ·基本积分法：直接积分法；换元积分法； 分部积分法 求导 ·初等函数 初等函数 积分 本节内容 一、 有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
第四节 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章
一、有理函数的积分 有理函数： R(x)= P(x) a0x”+a41xi-1+.+an (x) boxm.bm m≤n时，R(x)为假分式，m>n时，R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 A Mx+N (k∈Nt,p2-4q<0) (x-a)k (x2+px+q)k Oo▣⊙08
一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0) 2 − + k p q 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.将下列真分式分解为部分分式： (1) x+3 (3) x(x-1)2 (2) x2-5x+6 (1+2x)1+x2) 解：(1)用拼凑法 2=x=x-= x(x-1)2-x(x-1)2 (x-1)2x(x-1) 、1 _x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) 11 1 2x-1
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6 (x-2)x-3)x-2 x-3 A=(x-2)原式 x+3 =2x-3x=2-5 B=(x-3)原式 =2x-3-6 x+3 故 原式=-5 6 x-2 x-3 Ooo⊙o8
(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)混合法 A Bx+C (1+2x)1+x2)1+2x 1+x2 4 A=(1+2x)原式 分别令x=0,1代入等式两端 4 2 1= +C B= 5 5 1 C= 615 5 赋乱 Qao⊙o&
(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1 + + − − 2 1 2 1 x x