第九为 第一章 连续虽数的运算与 初等数的连续性 一、 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 OOo⊙08 机无
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如，sinx,cosx连续 >tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减） (证明略) 例如，y=sinx在[-号，]上连续单调递增 其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增 Oao⊙o8
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如，y=ex在(-o,+oo)上连续单调递增， 其反函数y=nx在(0，+o)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的 证：设函数u=(x)在点xo连续，且(xo)=40 函数y=f(x)在点uo连续，即limf(u)=f(uo). 于是 Iimf[(x)]=limf(w）=f(uo)=f[p(xo)】 x→x0 2u→u0 故复合函数∫[(x)】在点xo连续. OOo⊙⊙8
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 ( ) . 0 u0 x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，y=sin是由连续函数链 y=Sinu,l∈(-oo,+oo) l=- r∈R* 复合而成，因此y=sin二在xeR上连续 1 y=sIn- Oao⊙⊙8
例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)与g(x)均在[a,b]上连续，证明函数 e(x)=maxf(x),g(x) w(x)=min{f(x),g(x) 也在[a,b]上连续 证：p(x)=2[f(x)-g(x)+f(x)+g(x)] w(x)=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x) 根据连续函数运算法则，可知p(x),W(x)也在[a,b]上 连续 OOo⊙08
例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: f (x) − g(x) − f (x) − g(x) 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束