第一章 第七节 无穷小的比教 引例.x→0时，3x,x2,sinx都是无穷小，但 lim =0, li sinx 1 x-→03x x→03x 3 sinx lim 三00， 2 x-→0x 可见无穷小趋于0的速度是多样的
第一章 x → 0时, 3x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较
定义.设，B是自变量同一变化过程中的无穷小 若lim =0,则称B是比a高阶的无穷小，记作 B=o(a) 若lim B =∞，则称B是比a低阶的无穷小 若in C≠0，则称B是α的同阶无穷小 若lim B =C≠0，则称B是关于α的k阶无穷小 若lim =1,则称B是a的等价无穷小，记作《~B 或B~ Qoo⊙⊙8
lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinx~x; tanxx arcsinx~x 又如 lim -cosx 2sin2 1 x2 =lim x→0 x-→0 4(5) 2 故x→0时1-c0sx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosx2 OQo⊙⊙☒
例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明：当x→0时，1+-1心二x 证： lim +-1 x→0 a”-b”=(a-b)(a"-1+an-2b+.+bn-l) (/1+x”-1 lim x-→0 x[(1+xy-1+(1+x)”2+.+1] =1 当x→0时，1+x-1心1 n OOo⊙⊙8
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.a~B三B=0+o() 证：a~阝三lim =lm(E-1）=0,即limB“=0 .=B-=o(a),即B=+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x)
～ ～ 定理1. = + o() 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束