第四为 第三章 岛数的单调性与 曲孩的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 Oo▣⊙08 机无
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f'(x)>0 (∫'(x)<0),则f(x)在1内单调递增（递减） 证：无妨设∫'(x)>0,x∈I,任取1，x2∈I(<x2) 由拉格朗日中值定理得 f(x2)-f()=f'(5)(x2-)>0 5∈(，x2)c1 故f(:)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕 ▣ao⊙o8
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1)1(1,2) (2,+0) f'(x) 十 0 0 f(x) 2 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+o): f(x)的单调减区间为(1,2) 12 Oo▣⊙⊙8
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=√x2,x∈(-o0,+o0) yy=x2 2 -33元 yx=0=0 0 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+0) y'=3x2 y=0=0
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明O<x<时，成立不等式sinx 2 证：令f(x)= sinx 2 X π 则f()在(0，牙1上连续，在(0，上可导，且 x2 x2(x-tanx)<0 f(x)=cosx-sinx _cos 证 因此f)在(0，)内单调递减， tan x 又f(9)在7处左连续，因此f()≥f兮)=0 从而 ss xe(0.) Oo▣⊙⊙8
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束