第一章 第四为 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 OO▣⊙⊙8 机元
第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大
一、无穷小 定义1.若x→时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→0) 为x→xo时的无穷小： (或x→o) 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x-→1 1im1=0,函数1当x→o时为无穷小 x→00X 1 lim 当x→-0时为无穷小 g9⊙8
当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.若x→x(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x,(或x→o)时的无穷小 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小！ 因为 1imC=0=V6>0,36>0, x→x0 当0<x-<6时， C-0< 显然C只能是0！ OOo⊙08 机元
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+&,其中a为x→xo x→X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 ε>0,36>0，当0<x-x0<6时有 f(x)-A<8 0=fx)-4 lim a=0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证
其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0 0, 0, 当 0 x − x0 时,有 f (x) − A = f (x) − A lim 0 0 = → x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在6>0（正数X),使对 切满足不等式0<x-x。<6(x>X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x(x→o)时为无穷大，记作 lim f(x)=co.(lim f(x)=0) x→Xo x→00 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M), 则记作 lim f(x)=+oo lim f(x)=-oo) x→Xg x→x0 (x→0） (x→00)》 OO▣⊙⊙8
二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x X ) ( x → ) (lim ( ) = ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x) −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束