第六为 第一章 极浪存在灌则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、两个重要极限 Oao⊙⊙☒
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1. Iimf(x)=A二V{xn}:xn≠xo,f(xn)有定义， X→X0 X>0 x?→x(n→oo),有limf(xn)=A X→00 为确定起见，仅讨论x→xo的情形 OOo⊙⊙8
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A三{xn}:xn≠xo,f(xn) x→x0 有定义，且xn→xo(n→oo),有limf(xn)=A. n->00 证：“”设limf(x)=A,即Vε>0,36>0，当 x→X0 0<x-xo<6时，有f(x)-A<&. {xn}:xn≠xo,f(xn)有定义，且xn→x(n→o), 对上述6,3，当n>W时，有0<xn-x<6, 于是当n>N时f(xn)-A<s. 故 lim f(x)=A n-→o0 一”可用反证法证明.（略） OaO⊙o8
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即 0, 0, 当 有 f (x) − A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当 n N 时 f (x ) − A . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A一{xn}:xn≠xo,f(xn)有定义 X→x0 (x→0) 且xn→xo(n→oo),有limf(xn)=A. (xn→0) 说明：此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xn≠，且xn→0(n→o0), 使limf(xm)不存在 n→o 法2找两个趋于xo的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn) n→00 OO▣⊙⊙8 机元
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n f x → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例1.证明 limsin不存在， x→0 证：取两个趋于0的数列 1 Xn= (n=1,2,. nπ 及x”= 2nπ+ 有 lim sin=lim sin2n=0 n->oo Xn n→o0 1 lim sin=lim sin(2n+)=1 n-→o0 n→0 由定理1知limsin-不存在 x→0X Oao⊙⊙8
例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1 + = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x 1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = → n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束