第七为 第三章 平面曲我的曲 曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 M M 主要内容： 一、 孤微分 二 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 OAo⊙o8
第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 M M M 平面曲线的曲率 第三章
一、弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，其图形为AB, 弧长S=AM=s(x) y=f( )B M' △S MM MM' A M △x MM' △x MM' V(△x)2+(△y)2 a MM' △x X↑bx x+△x MM MM' lim =±1 Ax0MM' .s'(x)=lim
一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s(x) x s M M M M = x M M M M M M = x x y + 2 2 ( ) ( ) M M M M = 2 1 ( ) x y + x s s x x = →0 ( ) lim 2 = 1+ ( y ) x A B y = f (x) a b x o y x M x + x M y lim 1 0 = → M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
s'(x)=1+(y)2 .ds=+)2dx ds=/(dx)2+(dy)2 若曲线由参数方程表示 x=) y=y(t) 则弧长微分公式为ds=2+2dt 几何意义： ds =MT dx dy dx cosa sina ds ds xx+dx x @Oo⊙⊙8
则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 = + ds 1 ( y ) dx 2 = + 或 2 2 ds = (dx) + (dy) x + dx dx o x y x M dy T 几何意义: ds = MT cos ; d d = s x sin d d = s y 若曲线由参数方程表示: = = ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△、，对应切线 转角为△a,定义 弧段△s上的平均曲率 K= △0 M △s 点M处的曲率 △ da K=lim △s-→0 △S ds 注意：直线上任意点处的曲率为0！ OaoO⊙8
二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K = M M s 点 M 处的曲率 s K s = → 0 lim ds d = 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为
例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 解：如图所示， △S=R△0 AaAs △ R、 ∴.K=lim △S→0 R 可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小. OAo⊙o8
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s = R s K s = → 0 lim R 1 = 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . s R M M 机动 目录 上页 下页 返回 结束