第三节 第四章 分部积分法 由导数公式 (uv)'=u'v+uv' 积分得： w=∫ndr+juv'd 分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)∫uvdr比∫uv'dr容易计算 oooo☒
第三节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章
例1.求xcosxdx. 解：令u=x,v'=C0Sx, 则l=l,v=sinx ∴.原式=xsinx-「sinxdx =xsinx+Cosx+C 思考：如何求∫x2 sinx dx? 提示：令u=x2,y'=sinx,则 原式=-x2cosx+2xc0sxdr Ooo⊙o8
例1. 求 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求∫xInxdx。 解：令u=lnx,v'=x 则 w=1 =x2 原式= 2nx-xd -3m-x+C Qao⊙o8
例2. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求∫xarctanxdx. 解：令u=arctanx,v'=x 则 1+r2,-r 原式=x2 arctanx- dx 12 X 2 arctanx- 1+r2d4 1 xarctanx-(x-arctanx)+C 2 Ooo⊙®8
例3. 求 x arctan x dx. 解: 令 u = arctan x, v = x 则 , 1 1 2 x u + = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求ex sinx dx. 解：令u=sinx,v'=e,则 u'=cosx,v=ex .原式=e*sinx-∫e'cos x dx 再令u=cosx,v'=e',则 u'=-sinx,v=ex =e*sinx-e*cosx-[e*sin x dx 故原式=}e*(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=e",v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致. ololotolol8
例4. 求 e sin x dx. x 解: 令 u = sin x, x v = e , 则 u = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v = e , 则 u = −sin x, x v = e e x x = sin − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束