第一章 第五节 极浪运算法则 一、 无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 OQo⊙⊙☒
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1imau=0,limB=0 → 8>0,381>0当0<x-x0<6时，有 < 362>0当0<x-0<6时，有B< 取6=min{61,62},则当0<x-xo<6时，有 au+B≤a+B<号+号=ε 因此 lim(a+)=0. x→x0 这说明当x→xo时，+B为无穷小量 Ooo⊙⊙⑧
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小， 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， lim n 1 (P56,题4(2)) 解答见课件第二节例5 OOo⊙o8
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 ( P56 , 题 4 (2) ) 解答见课件第二节 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小· 证：设Vx∈U(xo,6),u≤M 又设lima=0,即Hε>0,382>0，当x∈U(xo,62) x→X0 时，有a≤ 取6=min{61,62},则当xeU(x,6)时，就有 ua=ua≤M.&=e 故1imu=0,即ua是x→xo时的无穷小. x→x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 OOo⊙⊙8
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求lim sinx 1 x→00 sinx y= 解：sinx≤1 1im'=0 X→0X sinx 利用定理2可知1im 三0」 x→00X sinx 说明：y=0是y=n 的渐近线 OO▣⊙⊙☒
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束