第、为 第一章 涵数的连续性与间断点 一、 函数连续性的定义 二、函数的间断点 OO▣⊙⊙8 机无
二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章
一、 函数连续性的定义 定义：设函数y=f(x)在xo的某邻域内有定义，且 1imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x,连续 x→x0 可见，函数∫(x)在点xo连续必须具备下列条件 (I)f(x)在点xo有定义，即f(xo)存在； (2)极限1imf(x)存在； x〉X0 (3) lim f(x)=f(xo). OaO⊙o☒
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b], 例如，P(x)=a0+a1x+.+anx” (有理整函数) 在(-00，+o0)上连续 又如，有理分式函数R()= P(x) e(x) 在其定义域内连续 只要Q(xo)≠0，都有1imR(x)=R(xo) x→x0 OOo⊙08
( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对自变量的增量△x=x-x0,有函数的增量 △y=f(x)-f(x)=f(xo+△x)-f(xo) 函数f(x)在点xo连续有下列等价命题 lim f(x)=f(xo)lim f(xo+Ax)=f(xo) x→x0 lim△y=0 yy=f(x) △x→0 I△1 f(xo)=f(xo)=f(xo") △ 左连续 右连续 0 ε>0,6>0，当x-x=△x<6时，有 f(x)-f(x)=△y<8
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明函数y=sinx在(-oo,+oo)内连续 证：x∈(-o0,+0) △y=sin(x+△x)-sinx=2 sincos(x+A) Ay=2 sin cos(x+) ≤2-1=AxAx→00 即 lim△y=0 △)0 这说明y=sinx在(-o,+oo)内连续 同样可证：函数y=c0sx在(-0，+0)内连续 o0o0 机元
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束