第三节分部积分法 基本内容 小结 三、思考题
生一、基本内容 问题∫xex=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数=l(x)和=W(x)具有连续导数, 工工工 (uv=uv+uv, ur=(uv)-u'v, uv'dx=uv-lu'vd,udv=uv-vdu 分部积分公式 王页下
问题 x e d x = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u( x) 和v = v( x) 具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
例1求积分[ xcos xdx. 解(一)令u=cosx,xdlx=dx2=dv 2 主j 2 2 xcos xdx -cOSX sin xdx 2 显然,u,v选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x, cos xdx= d sinx=h x cos xdx=xdsin x=xsinx-Isinxdx =sinx +cosx+C 上页
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u=cos x, xdx = d x = d v 2 2 1 x cos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u= x, cos xdx = d sin x = dv x cos xdx = x d sin x = x sin x − sin xdx = xsin x +cos x +C
例2求积分∫x2ex 解L=x e= de= dv 9 xe dx=xe-2 xe dx 王1《再次使用分部积分法)=x,c=h =x2e2-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幕函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为a,使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 上页
例2 求积分 . 2 x e d x x 解 , 2 u = x e d x d e d v, x x = = x e d x 2 x = x e − x e d x x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u= x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
王例3求积分∫ rarctan xdx. 2 x2x2 解令u= arctan x,xlx=d=h 2 2 x arctan xdr=arctan x 2 d(arctan x) 2 x21 =— arctan x 2 21+x 2 工工工 =arctanx-(1- Dax 2 2 1+x2 arctan x-(x-arctan x)+ce 2 2 上页
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x, dv x xdx = d = 2 2 x arctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − d x x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − d x x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +