(t∈J),且不难验证H:×百→X为SC同伦.于是对邻近0的 有 d(f,,y)=d(I-H1/2,0)≠0, 从而y∈f(』).这表明0∈(几)°,如所要证 在1.8.7的条件下,若∫是单射,则∫:U→几是同胚;若几J 闭,则必∫′=X,利用这些事实容易建立: 188满射定理设F=一f:X→X在有界集上为SC,则以 下每个条件蕴涵fX=X:(i∫为局部单射且弱强制(即|x|→∞→ f(x)|→∞);(i)lim|Fx|/|x|<1;(ⅲ)彐λ>0,yx,y∈X: f(x)-f(y)|≥λ|x-y|(iv)X是 Hilbert空间,f强制,即|x ∞→(f(x),x)/|z|→o 证若条件〔)满足,f(xn)→y,则A△{xn}有界,从而A闭 1.2.4),于是y∈fA,这表明fX闭,因此由1,8,7有∫X=X.其 次显然(i)→〔i) 若条件(ⅱ)满足,则对任给y∈X,当p>0充分大时有|Fx}< x-y|(yx∈aB(0)),于是由(D)有 d(,B2(0),y)=d(I,B,(0),y)=1, 因而y∈∫X,这表明fX=X 若条件(iv)满足,t∈J,则 tx+t∫(x)|≥(tx+rf(x),x/|x!) =式x|+t(f(x),x)/1x→o(|x|→∞) 给定y∈X,当P充分大时|x|=0→yE[x,f(x)],于是同样由 (D5)得出(1) Borsuk定理亦可用于微分方程问题,下面举一简单例子.考 虑BVP A1(t) f(t,x)(t∈J Bx=o (3) 其中A:∈D1(J,L(Rm))(1≤还n),∫:J×Rm→Rm满足§6中条 31
件(H2)(H3),x=(x,x',…,x-1),B∈L(X,Rm),X=C(J, Rm).以Lx记(2)之左端,设定以下条件: (H1)3B>0,y∈I(),Vk∈[0,1],BVP Lx=∫4(t,x)(t∈J),Bx (4)x 的解x满足f(t,x(t)≤t)x()时必为零解,其中 f2(t,2)=(1+A)[f(,z)-Af(t,-z)] H2)彐r>0,Ⅴ(,z)∈J×R";|z|≥r→lf(t,z)|≤Bg(t) ·z|,其中B9依(H1) 189定理若条件(H1)(H2)满足,则BVP(2)(3)有解. 证如所熟知,x是BVP(2)(3)的解→z=x是 M(t)z tg(, z)(tE J), Bz=0 的解,(5)中M依1.6.1之证,g=(0,…,0,:J×Rm→Rm,任给 z∈X,定义 Tz()=z(0)+Bz+|[M()z(s)+g(s,z(s)Jds.(7) 由一标准的论证知T:X→X全连续.显然z∈X是BVP(6)的解 今z=Tz.取充分大的p>0,令D={x∈X:|z|<P,只需验证 T:X满足1.8.1中条件(H) T不满足(H)意味着存在(A,2)∈J×a,使得 z=(1+以)-1Tz-T(-z)] 可设>0(否则已有z=Tz).将(7)代入(8)得 z()=x(0)+Bz+|[M(s)z()+gx(s,z(s)]ds,(9) 其中g=(0,…,0,f).(9)表明z满足BVP: z’=M(t)z+gx(t,z)(t∈J),Bz=0 (10) 三t 这又推出存在x∈C-1(,R"):x=x,x清足BVP(4) 若Ⅴt∈J:|z()|≥,r依条件(H2),则由(H2)有 lf(t,z())≤P(t)|z(t)|(Ⅴt∈J) 于是由条件(H1)推出x(t)=0,得出矛盾.因此必有t∈J:lz(to) 32
r.若t0<1,则t∈[t,1]有 z(t)|=1z(a)+CM(s)z(s)+gx(s,z(s)]asl <r+[AM()1z()+g(,z()]d,(1) k>0是某个常数取h∈E1(JR+),使当(t,z)∈J×Rm,|z1≤r 时1f(t,z)|≤h(t).这结合条件(H2)得出 f(t,z(t))≤β(t)|z(t)|+h()(t∈J 由此显然推出 g(t,z(t))!≤βg(t)|z(t)+h(t)(t∈J) 以此代入(11)得 z()<r+|h|1+a(s)|z(s)|ds, 其中叫(s)=k|M(s)|+pgp().于是用 Gronwall不等式得 lz(t)|≤(+h1)exp|a(s)ds仝R(t≤t≤1), R与P无关,若to>0,问理可证当0≤<t时,z(t)|≤R,故|z| ≤R因可设R<P,故z∈,得出矛盾 类似于1.8.9的结果可在[188中找到
第二章锥与正不动点 本章讨论有序 Banach空间中的非线性映射及其不动点,其基 本思想一方面可溯源于经典分析中关于单调函数的熟知结果;另 方面基于度理论的某种推广,后者导致关于“正不动点”的一系 列结果,这些结果今天已广泛应用于各类非线性方程正解问题的 研究 1锥 2.1.1定义设KCX.若￥心>0:kKCK,则称K为锥;若K 是闭凸锥且K∩(-K)={0}≠K,则称K为序锥 锥是要求甚少而作用甚大的数学概念之一本书在两条途径 上使用锥概念:其一是用作描述某些数学对象的“方向锥”,第四、 五两章将予考虑;其二是用于定义序关系,这是本章的课题 任何非空闭凸锥KCX在Ⅹ中导入一拟序≤(必要指明K 时记作≤K);x≤y→y-x∈K,≤具有通常的性质:若x≤y,a≤ b,k∈R+则x+≤y+b,x≤列y若x,≤ynx→x,y→y,则x≤ y若K为序锥,则≤为半序,此时说X(或写作(X,≤)是有序 Banach空间.为记号简便,本书约定;当写出X时意味着X+CX 为非空闭凸锥,在X中使用由X+导人的序≤计x<yx≤y≠x, x<y→y-x∈X°+;[a,b={x∈X:a≤x≤b}(序区间),AC 序有界a,b∈K:AC[,b;A≤Ba∈A,b∈B:a≤b; 序列{xn}CX单调增及函数∫:DCX→Y单调增的含义是自明 的 本节设K+是一序锥,它导入序≤ 2.12定义若X= spanX+(=X+-X),则说X+是再生 34·
的;若X= span X+,则说X+是完全的;若X中的序有界序列有 界,则说X是正规的;若X中的序有界增序列收敛,则说双是正 则的;若X中的有界增序列收敛,则说x是全正则的 21.3定理X°+≠Q→X+是再生的<→δ>0:B;(0)CC △(X+∩B1(0)-(X+∩B1(0)) 证若X°+≠②,则x∈X,,E>0:B4(x)CK+∩B,(0) 令δ=E/r,则Bn(0)C 若B(0)CC,则X=UnB(0)=UmnC=X+-X+ 若X=X-X+,则X=UnC,于是由Bare定理有C°≠⑧ 由C对称凸推出0∈C°,于是彐δ>0:B2(0)CC,今证B(0)CC: yx∈Ba(0),取x1∈C∩B2(2x),x2∈C∩B(4x-2x1),x3∈C∩ B(8x-4x1-2x2),…如此得{xnCC,x=∠2,∈C.口 X°≠Q”是一个不常有但极有用的性质,它反映了X+的某 种“丰满性”,且与“再生性”、“完全性”一起构成“丰满程度”递降的 三个层次 2.1.4定理以下条件互相等价:(i)X+是正规的;i)inf{|x +y:x,y∈X∩aR}>0,B=B1(0);(i)B>0:0≤x≤y→|x ≤Gy;(i)(B+x+)∩(B-X+)有界 证(i)→(i).若〔i)不真则xny∈X+∩B:|xn+y< n3(n≥1),于是0≤nx≤∑1(x+y),X+必非正规 (i)→(i).若(i)不真,则彐xnyn0≤x≤yn,|x|>n|y, 0.令xn=xn/x,|,y,z’仿此,zn=y,nx'n则xn,zn∈x;∩ aB,n-1≤|zn|≤n+1,xn+xn|≤2/(n-1),(i)不能成立 (ⅲ)→(i).Ⅴa,b∈B,x,y∈X,当a+x=b-y时有0≤x ≤b-a,于是从(ⅲ)推出|x≤Bb-a≤2,从而|a+x≤2+ l.因此(B+X+)∩(B-X+)CB2+1(0) (iv)→(i).设a≤x≤b,可设a,b∈B,于是xn=a十 b(b-xn)∈(B+X+)∩(B—X+),故(iv)→{xn}有界 ·35·