d(I-F,,0)=d(I-F,D\Kn,0) =d(I-F,Kn,0)=d(I-F,D,0) 注1.71的意义在于,可以用一个IS度d(I-P,,0)来 提供有关FixF的信息,而不必F∈%,因此可以说,原则上IS度 是足够的! 1.72命题设身CX是有界开集,F∈%(2), an FixF= C,则存在有限维子空间YCX与G∈C(Q,Y),使 d(I-F,,0)=d(I-G,Y∩Ω,0 (2) 证因(I一F)(a)闭(1.2.4),故2 EAinf|x-Fxl>0.由 ∈a 1.2.6,存在有限维子空间YCX与G∈C(,Y),使!F-G|0<e 由(D5)(D)得出(2) 172表明,LS度可归结为 Brouwer度,因而可以 Brouwer 度作为构造度理论的出发点.由于在有限维空间中有非常成熟的 拓扑与分析工具可用, Brouwer度是较易把握与操作的 .73命题设DCR是有界开集,∫∈C(,R),0∈ f(a),则存在g∈C1(,R”),使得0是g的正则值(即Ⅴx∈ g-1(0):g(x)∈GL(R)),且d(f,,0)=d(g,』2,0) 证显然2eAd(0,f(a02))>0.取h∈C(2,R”),使|f一h <ε[75;8-3.6].由Sard定理[75;5,5.3],h有正则值y:y|<e. 令g=h-y,则0是g的正则值,|f一gl<2E,于是由(D5)有 d(f,D,0)=d(g,D,0). 1.73表明,对于 Brouwer度可限于考虑足够“好”的函数,这 就为建立某种计算公式开辟了道路 1.74定理设ΩCR是有界开集,f∈C1(百,R"),0 f(a),0是∫的正则值,则 d(,a,0)=>sgn detf"(x). (3) x)=0 证任给x∈f1(0),必x∈,且f(xo)∈GL(R").由反函 数定理,在x0邻近为局部C同胚,因此x。是∫的孤立零点.可 26·
见∫-1(0)必为有限集,设为{x0,x1,…,xm}.取充分小的e>0,由 (D2)有 d(f,,0)=∑d(f,B(x,),0) (4) 由1.33有d(f,B(x;),0)=d(”(x0),B(0),0),于是(3)由(4) 及下面的线性结果(1.7.5)得出 1.7.5定理设A∈GL(R"),E>0,则 d(A,B.(0),0)= sendetS=(-1)2, (5) 是A的负特征值的代数重数之和 证不妨设E=1,A是 Jordan标准形.由(D3),若A(·)∈ C([a,b],GL(R")),则d(A(t),B1(0),0)与t无关;显然 sonde A()亦与t无关基于此,证明归于将A沿GL(R)内的单参数曲 线作连续变形.首先将每个 Jordan块 1中的1代以参数 t并令其递降至零,于是A变为A(A2…A,A为对角形或 rcost rsint 形如 a2+P2≠0.以 β 替代 并 rsint rcost 令t递降至零得到 0,·于是可设A=dagλ1,…,λ),0≠∈ 0 R;进而可设λ=士1.因 可代以 故只需考虑A 0 dag(1,…,1,士1)若A=I,则(5)由(D)得出.若A=diag(1, 1,-1),则不妨设n=1,从而A=-1.令D=(-1,1),m1 -1,0),a2=(0,1),f(x)=|x|-1/2.用一同伦论证易得d(f, g,0)=0,于是由(D2)(D3)有 0=d(f,B1,0)+d(f,D2,0) -r-2,0+4(1-2,2,0 =d(-I,0,0)+d(I,,0), 由此得出d(-I,,0)=-1,如所要证
1.7.4与1.7.5不仅给出了 Brouwer度的明显算式,而且也 对“方程∫(x)=0的解的代数个数赋予了准确的含义,至少对性 质充分“正则”的f是如此这样, Brouwer度就成为一种易于理解 与把握的概念 在无穷维空间中不再有对应于(3)的公式.至于(5),倒是有 个优美的无穷维推广 1.7.6定理[43;Th9.10]设T∈L(X)∩SC,1a(T),则 d(I-T,B2(0),0)=(-1), 其中E>0,B是T在(1,)内的谱值的代数重数之和 注若1.3.4中条件(H2)或(H3)满足,则直接用1.7.6得出 d(f,Q,0)=1 s8 Borsuk定理 任给对称集DCX,设f:D→Y,称oddf(x)仝[f(x) f(-x)]/2为∫的“奇部”;∫是奇函数→→od∫=f,f是偶函数 →odd∫=0;df必为奇函数. 1.8.1 Borsuk定理设QCX为有界对称开集,0∈a,F Ⅰ-f∈SC(2).若f满足条件 (H)y(t,x)∈JXa:f(x)≠tf(-x) 则d(f,Q,0)=奇数特别,若∫|a是奇函数且0f(a2),则 d(f,2,0)=奇数 证下面分几步相继归化到特殊情况. 首先令H(t,x)=(1+t)[Fx-tF(-x)],则由1.2.7推出 H:×→X为SC-同伦;条件(H)推出a∩FxH=8;H=F, H1=odF.因为以H1代F,故下面不妨设F是奇函数,且a0n Fix=o. 其次设K,P依171,则不难验知K=-K,F1△oddP∈ %)(2),F1|(0∩K)=F(2∩K),F2CK.因可以F1代F,故
不妨设F∈(2) 若在1.2.6之证中取{y}为对称集,则当F为奇函数时由 §2(4)定义的G亦为奇函数,基于这一事实与(D6),以下不妨设 X=R,即CR,f∈C(,R")为奇函数,0Ef(a) 取g∈C(D,R),使|∫一g|。充分小;取充分小的>0,使 E∈a(g'(0);令h=oddg-El,则h∈C(,R")是奇函数,deth (0)≠0,h-f|充分小.因可用h代f,故不妨设∫∈C,det (0)≠0. 令U={x=(x1,x2,…,x)∈D:x≠0},D=∪〔1≤k≤ n),g(t)=取f(x)/g(x1)在1上的正则值y2,使{y2充分小, 则0是奇函数g(x)仝f(x)-g(x)y在D1上的正则值.设k< 已作出C奇函数g,使|∫一g|充分小,0是g|D,的正则值,取 g4(x)/g(x+1)在U料+1上的正则值y+1,使|y+4充分小,则0是 C奇函数g+1(x)Ag4(x)-gxk+)y+1在+1上的正则值,|∫ g+1|0充分小.如此直至得出C奇函数gn,f一gn1充分小,0是 g|a,的正则值.令g=g则g'(0)=g'-1(0)=…=f(0),而 =0\0},故0亦是g|的正则值.因g-(0)是对称集,而g是偶 函数,故结合(D5)与1.74得出 d(f,,0)=d(g,2,0) 0r∈x向ndet(x)=奇数 sendets'(0)+∑ Borsuk定理的结论异常深刻,仅仅是它所提供信息的一部 分,即“奇函数→奇数度→不动点存在”,就足以导致深刻的结论 下面是某些典型的应用 1.82定理( Borsuk-Ulam)设9X为有界对称开集,0∈ ;F=I-f∈SC(2),f(a)含于X的某真子空间,则有x∈a, 使f(-x)=f(x) 证若定理结论不真,则 gAoddf在a上无零点,而I-g odF∈SC(2),于是由1.8.1有d(g,,0)≠0,另一方面,因 29
g(a2)如同f(a)一样含于X的某真子空间,从而X\g(A2)连通, 故由(D1)有d(g,2,0)=0,得出矛盾 若∫∈C(S“,R”),则∫有扩张了∈C(R+,R")(1.2.7),于是 由1.8.2得出 18.3推论若∫∈C(S”,R),则彐x∈S";f(-x)=f(x) 当n=2时,18.3的结论的一些有趣的地理学解释在数学史 上颇引人注目 18.4推论(三明治问题)设AR”,mesA;<∞(l≤还n), 则有超平面P同时分A4为等测度的两半 证任给x=(x0,x1,…,xn)∈S",令H={(yy2,y)∈ R":>1x-y>xo},f(x)=mes(A1∩H2),则f=(f1,2…,F)∈ C(S",R),于是彐x∈S":f(-x)=f(x),P=BH即为所求超平 面 1.8.5推论( Borsuk,1933)设目CR是有界对称开集,O∈ D,a=UTA,A是非空闭集,A0(-A)=C(1≤≤m),则m> 证设m≤n,令∫(x)=d(x,A1),则∫=(1,f2 乡J辨-1 )∈ C(,Rm-2),于是由1.8.2有x∈a:f(x)=f(-x).若彐i<m:x ∈A,则一x∈A,这与∫(x)=∫(-x)=0矛盾.若x∈Am,则必 彐m:-x∈A,亦将导致矛盾 186推论设』如1.8.5,∫∈C(aQ,R")是奇函数,f(a2) 含于R的某真子空间,则f1(0)≠Q 证由1.8.2(参考1.8.3),x∈a2:f(x)=f(-x);因∫是 奇函数,故f(x)=一f(x),因此f(x)=0 187开映射定理设UCX是开集,F=I一f:U→X局部 为集压缩映射,为局部单射,则∫是开映射 证Ⅴx0∈U,今证∫(x0)∈(几7)不妨设f(x)=x0=0.取 r>0充分小,令=B,(0),使F|∈SC且∫2为单射.令H(t, x)=F(tx)-F((t-1)x),则H1=F,H12是奇函数, aonIx2= 30