正规性通常在以下形式下使用:设已给x的“序估计"a≤x≤ b,则9≤x-a≤b-a,于是依2.1,4(ⅲ)得出一“模估计”:x-a ≤B|b-a 2.1.5命题全正则→正则→正规. 证若X+非正规,则有xn,yn∈X∩B1(0):lx+y|< 令z2,=,(x+y,),2+1=z2+x,+1,则{n}是有界且序 有界的发散增序列,因此X非正则亦非全正则.若X全正则, (xn}CX是增序列且序有界,则因X+正规{xn}必有界,从而收敛, 于是X+正则 有界增序列收敛”是熟知的实分析结论,这一结论在一般有 序 Banach空间中只是有条件地成立,而正则与全正则性正表达了 这类条件 21.6例1°本书中如无特别声明,在R”中总采用由锥R (R+)导人的“标准向量序”R内部非空且全正则.实际上,不 难证明R中任何序锥是全正则的,更是正规的.因此,在有限维空 间中不会有否定2.1.4之条件()~(iv)的直觉经验 2°设(,)是任何测度空间,X=L(2,R),1≤p<∞,则X 仝L(,R+)是X中的序锥,X°+=Q,但X+是再生的:每个x∈X 有分解x=x+一x.其次,不难用Leⅵ定理推出X+是全歪则的 3°设X=co(收做于零的实数列空间),则X仝{(x)∈co:x 个 ≥0(t≥1)是正则锥.X+非全正则:令xn=(1,…,1,0,0,…), 则{xn}Cco是有界发散增序列 4°设X=C(T,R),T是紧T2空间,则X+仝C(T,R+)是正规 锥.X+未必正则.例如C(J,R+)即非正则:设xn(t)=1-r(t∈ ),则{xn}是C(,R)中的序有界发散增序列 5°设X=Cl(J,R),在X中采用范数|x|x=|x3+|x′{o,则 X+=X∩C(J,R+)是X中非正规的锥:xn= wInnt(n≥1)在x中 36
序有界但|x。|x→∞(n→∞).其次注意X=X∩C(J,(0,∞))≠ .此例与例2一起说明:序锥内部非空与正规性之间没有必然 联系 从应用角度考虑,“X°=”与“X非正规”都是引起困难的 病态”.然而,在无限维空间中,许多自然地定义的锥难免这种病 态.在这种情况下,有一个对空间与锥同时进行改遣使之消除病态 的标准方法.设K是X中的任何序锥.任取0≠e∈K,令X R+-ee],[-e,e是由≤K决定的序区间;在X中采用范数|x =inf{心>0:x∈AL-e,e]},则易验知(X,|·|)是一赋范空间,且 KAX∩K=R+[0,e]是X中的序锥如此构成的K,有较好的 性质 2.17定理K,有以下性质:()K在X中的内部(下面记 作intK,)非空,事实上,λ,1>0:[A,p] CintA.(i)K,在X,中 正规.(ii)若K正规,则(x,·1)完备且它连续地嵌入X.(iv) 若e∈K°,则X=X,且当K正规时|·|是·|的等价范数 证(i)设从,以>0,Ae≤x≤e,x-y<e,E充分小,则0≤(λ e)e≤y≤(+E)e,可见y∈K,因此x∈intK4 (i)以≤记K在X中导入的序.若0≤x≤y则0≤x≤y ≤ly|e,这推出|xl≤|y|,可见K正规 (i)若K正规,则彐r>0:[-e,e]cB(0),于是x∈X:|x ≤r|x|可见XCX是连续嵌入.若|xn-xn→0(m,n→∞),则 m-xn|→0(m,n→∞),于是在X中xnx.c>0,当m,n充分 大时有x-xm∈E[-e,e];令m→∞得xn-x∈E-e,e],这表明 在X中xnx可见X完备. (iv)设B(e)CK,δ>0,则B(0)CX,因此X=X若0≠x ∈x,则e士8x/x|≥0,这推出|xl.≤|xl/8.若K正规,则证(i) 时已得{x≤r|x,因此|·|与|·|等价
§2对偶锥 首先约定本书将多次使用的某些缩记号.任给A∈XUCX, U,A}=(v,a):v∈U,a∈A}; (1) U,a》与(a,A)(a∈X,v∈X)的意义自明.记号u(A)与{,A)将 同等地使用.约定 A≤B<ya∈A,b∈B:a≤b, 只要右端之a≤b有定义;A<B,A≤b等仿此 以下设X中已由锥X+导入序≤ 22.1定义任给ACK,称A‘仝{u∈X”:u(A)≥0}为A的 对偶锥;称 conea仝UλA为A生成的锥,约定 coneA= coneA.称 每个u∈X为X上的正线性泛函;当,x\{0}》>0时说a是 严格正的 任给ACX,容易验证A为X中的弱“闭凸锥, cone coA co cone a,A=( cone coA);若A是子空间,则A·=A(此时 须注意区别“对偶锥A”与“对偶空间A"”!) 2.2.2命题设KCX是非空锥.(i)a∈K'→infa(K)=0, ∈X\K→infa(K)=-∞;因此u(K)之r>-0→∈K“且r ≤0.(i若x∈K°,0≠∈K,则a(x)>0;∈K·且|→∞→ (x)→∞.(i)若X°+≠,x∈aX+,则彐a∈X*\{0}:(x)=0 (iv)若X可分,则存在严格正的u∈X+ 证()是明显的 (ⅱ)设B(x)∈K,8>0,则0≤(a,B(x)=u(x)-<a, B(0),于是u(x)≥sup(u,B(0)=谷a|,由此得出所要证 i)由分离定理有0≠u∈X’:u(x)<u(X°+),于是t∈ (X°+)=(注意X4CX°),a(x)≤0≤x(z),从而u(z)=0 ·38·
(iv)X可分推出X弱可分,于是有序列{tn}在X∩B1(0) 中弱稠密可验知仝∑n2为严格正 以下命题表明,X+与X+(=(X+))的关系颇类似于X与 X的关系 22.3命题X+=X0X;自反→X+=X 证显然X+Cx,￥x∈XX+,由分离定理有u∈X u(x)<u(X+),于是由2.2.2(i)有u∈X+,ux)<0,可见x∈ X+"故得X∩X+CX+, 注等式x+=X∩X+意味着,Vx∈X:x≥0←(X,x}》≥ 0.其次,结合2.2.3与2.2.2(i)(i)得出,当X°≠￠时,x∈ X:x>0→〈X+{0},x)>0.以上结论给出将“向量不等式”转化 为“标量不等式”的途径,在与向量序有关的问题中用处颇大 2.2.4 Krein定理设AX是子空间,KCX是凸锥,An K°≠C;是A上的连续线性泛函,u,A∩K)≥0,则彐v∈K’: A 证因可用如同证Hahn- Banach定理一样的延拓程序,不妨 设x=ARe,e∈A,取x∈A,δ>0,使B(xo)CK,则δ-l|e|xo ±e∈K,于是士δ-1|exo=e士(elx。c)∈A∩(e+K)≠② Vx∈A∩(e-K),y∈A∩(e+K),有y-x∈A∩K,从而a(y x)≥0.这表明(u,A∩(e-K))≤,A∩(e+K)),于是彐∈R: a,A∩(e-K)≤≤≤(n,A∩(+K)定义 v(a+le)=a(a)+店,a∈A,A∈R, 则v是X上的线性泛函,U|A=u,的取法易验知v(K)≥0.由 U,Ba(0))=(v,x-B4(x))≤v(x。)推出v有界,因此v如定理 所求 给定一组锥KCX(1≤i≤n),确定(UK)“与(∩K)有其 重要性.直接看出(UK1)=∩K;,(∩K;)2co(UK!)= K:;要紧的是在什么条件下有等式 39
(nK)=∑K (2) 22.5定理以下每个条件蕴涵等式(2):(K;(1≤长n)是 非空闭凸锥,∑K:弱·闭;(i)K(≤≤n)是开凸锥,∩K≠ C;(ⅲi)n=2,K1是子空间,K2为凸锥,且K1K2≠ 征给定∈(∩K),只要证v∈∑K 设条件()满足若v∑K,则由分离定理有x∈x:u( <(>K;,x〉,这推出a(x)<0,而 x∈(K)=(UK)”=∩K’=∩(x∩K) (223),从而x∈∩K;,这与∈(∩K;)矛盾 设条件(i)满足.令D={(x,…x):x∈X}CX,M=ⅡK, (x,…,x)=u(x),则D是子空间,M是开凸锥,D∩M≠②,f(D ∩M≥0.由2.2.4有g=(u;)∈M,t;∈X,使得g1D=f.这推 出=∑a∈∑K 设条件(i)满足.对w|K1用2.2.4得v∈K2:v|K1=vK2, 于是u=(u-v)+v∈K!+K2 现在考虑另一个类似的问题:设A∈L(X,Y),KCY是一个 锥,如何通过K·来表出(A-1K)?直接由〈A'K",A1K)=〈K AA-K》≥0得出A‘K‘C(A-1K)问题在于是否成立 (A-1K)=A"K’ (3) 2.2.6 Farkas引理设A∈L(X,y),KCy,则以下每个条 件蕴涵等式(3):(i)K是闭凸锥,A‘KCX为弱闭;(i)K是凸 锥,K°∩R(A)≠必 证取定u∈(A-K)*,只需证t∈A·K“.若条件(i)满足而 ∈A·K,则由分离定理有x∈X:(x)<(AK”,x)=(K Ax),这推出4(x)<0,Ax∈Y∩K=K,与∈(41K)矛盾 若条件()满足,则在X×Y中对子空间GrA与凸锥×K应用 22.5得 40